Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

DWQA Questions › Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться – как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Насколько я помню, для этого используется определенный интеграл? Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Для того, чтобы вычислить площадь фигуры, которая ограничена указанными линиями, полезно сначала начертить графики заданных функций и определить какими функциями она ограничена сверху, снизу и на каком отрезке по оси Ох. Затем уже используют формулу нахождения площади фигуры:

$\int^b_a{\left(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right)dx}.$

Удобнее этот вопрос изучать на примерах.

Пример.
Найдем площадь фигуры, которая ограничена линиями $y=\frac{17x+5}{x^2+1}$ , $y=0$ , $x=-2$ , $x=7$ .

Решение.
Из условия видно, что площадь фигуры нужно найти на промежутке $\left[-2;7\right]$ (на это указывают функции $=-2$ и $x=7$ ).

При построении графика функций определим, что сверху фигура будет ограничена функцией $y=\frac{17x+5}{x^2+1}$ , а снизу — функцией $y=0$ .

Подставим полученные данные в формулу:

$\int^b_a{\left(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right)dx}=\int^7_{-2}{\left(\frac{17x+5}{x^2+1}-0\right)dx}=$

$={\left.\frac{17}{2}{\mathrm{log} \left(x^2+1\right)\ }+\frac{5}{tg\ x}\right|}^7_{-2}=$

$=\frac{17}{2}{\mathrm{log} \left(50\right)\ }+\frac{5}{tg\ 7}-\frac{17}{2}{\mathrm{log} \left(5\right)\ }-\frac{5}{tg\ \left(-2\right)}=$

$=\frac{17}{2}{\mathrm{log} \left(10\right)\ }+\frac{5}{tg\ 7}+\frac{5}{tg\ 2}\approx 32,2522.$

Ответ. $32,2522$ кв. ед.

Встречаются случаи, когда отрезок, на котором нужно вычислить площадь фигуры, явно не задан. В таком случае сначала находят этот отрезок, а затем вычисляют определенный интеграл.

Пример.
Вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями $y=\frac{13}{x}$ и $x+y=17$ .

Решение.
Найдем точки пересечения данных функций. Для этого составим уравнение:

$\frac{13}{x}=17-x;$

$x^2-17x+13=0;$

$x_1\approx 0,8026;$

$x_2\approx 16,197.$

Запишем определенный интеграл для нахождения площади заданной фигуры:

$\int^{16,197}_{0,8026}{\left(17-x-\frac{13}{x}\right)dx}={\left.17x-\frac{x^2}{2}-13{\mathrm{ln} x\ }\right|}^{16,197}_{0,8026}=$

$=17\cdot 16,197-\frac{{16,197}^2}{2}-13{\mathrm{ln} 16,197\ }-\left(17\cdot 0,8026-\frac{{0,8026}^2}{2}-13{\mathrm{ln} 0,8026\ }\right)\approx$

$\approx 275,349-131,1715-15,73-13,6442+0,3221+1,24\approx 116,3654.$

Ответ. $116,3654$ кв. ед.

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.