Вычислить длину дуги кривой

DWQA Questions › Вычислить длину дуги кривой

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Помогите решить задачу: «Вычислить длину дуги кривой от точки А(0; 0) до точки В(1; 1)». Заранее благодарна! Очень срочно нужно!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Вычислить длину дуги кривой $y=\sqrt{{13x}^3}$ от точки А(0; 0) до точки В(1; 1).

Решение.
Для решения данного задания обычно не является необходимым чертить функцию, но зачастую очень важно иметь представление о ее графике.

Найдем пределы интегрирования. Из координат точек получаем, что длину дуги нужно вычислить на промежутке $\left[0;1\right]$ .

Из условия задания следует, что необходимо найти длину дуги только верхней ветви функции $y=\sqrt{{13x}^3}$ .

Сначала найдем производную этой функции:

$y^{'}={\left({13x}^{\frac{3}{2}}\right)}^{'}=13\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{39}{2}\sqrt{x}.$

Длина дуги кривой рассчитывается по формуле:

$L=\int^b_a{\sqrt{1+{\left(y'\right)}^2}dx}.$

Подставим найденные данные в указанную формулу:

$L=\int^b_a{\sqrt{1+{\left(y^'\right)}^2}dx}=\int^1_0{\sqrt{1+{\left(\frac{39}{2}\sqrt{x}\right)}^2}dx}=\int^1_0{\sqrt{1+\frac{1521}{4}x}dx}.$

Обозначим $u=1+\frac{1521}{4}x$ .

Тогда пусть $du=\frac{1521}{4}dx$ , из чего найдем $dx=\frac{4}{1521}du$ .

Подставим в интеграл замену:

$\int^1_0{\sqrt{u}\frac{4}{1521}du}=\frac{4}{1521}\int^1_0{\sqrt{u}du}={\left.\frac{4}{1521}\cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right|}^1_0={\left.\frac{8}{4563}u^{\frac{3}{2}}\right|}^1_0.$

Теперь вернемся к переменной х:

${\left.\frac{8}{4563}{\left(1+\frac{1521}{4}x\right)}^{\frac{3}{2}}\right|}^1_0=$

$={\left.\frac{8}{4563}\sqrt{{\left(1+\frac{1521}{4}x\right)}^3}\right|}^1_0=\frac{8}{4563}\left(\sqrt{{\left(1+\frac{1521}{4}\right)}^3}-\sqrt{{\left(1+0\right)}^3}\right)=$

$=\frac{8}{4563}\left(\sqrt{{\left(\frac{1525}{4}\right)}^3}-1\right)=\frac{8\cdot 1525}{4563\cdot 4}\left(\sqrt{\frac{1525}{4}}-1\right)=$

$=\frac{\sqrt{1525}-2}{3}\approx 12,35.$

Ответ. $L=\frac{\sqrt{1525}-2}{3}\approx 12,35$ ед.

Кроме вычисления длины дуги кривой определенный интеграл используется для вычисления площади фигуры, которая ограничена линиями, объема тел вращения и др.

Вычислить длину дуги кривой

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.