В параллелограмм вписана окружность найдите периметр параллелограмма

DWQA Questions › В параллелограмм вписана окружность найдите периметр параллелограмма

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить задачи:

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если известна длина одной стороны параллелограмма, равная 17 см.
Диагонали параллелограмма равны 16 см и 18 см. В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус.

Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задача 1.
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если известна длина одной стороны параллелограмма, равная 17 см.

Решение.
В любой четырехугольник окружность можно вписать только при условии, что сумма одной пары противоположных сторон четырехугольника равна сумме другой пары противоположных его сторон.
Из всех параллелограммов такими признаками обладает квадрат и ромб. Поэтому для вычисления периметра параллелограмма воспользуемся формулой периметра ромба, у которого все стороны равны:
$P_{romba}=4\cdot storona=4\cdot 17=68$ (см).

Ответ. 68 см.

Задача 2.
Диагонали параллелограмма равны 16 см и 18 см. В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус.

Решение.
В предыдущей задач мы разобрались, что окружность можно вписать из всех параллелограммов только в ромб (и, конечно же, квадрат).
Построим ромб ABCD. Проведем в нем диагонали.

Рассмотрим треугольник AOB.
Согласно свойству диагоналей ромба угол AOB равен 90 градусов.
Найдем стороны АО и ОВ:
$AO=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8$ (см);
$OB=\frac{BD}{2}=\frac{18}{2}=9$ (см).
Воспользуемся теоремой Пифагора:
$AB=\sqrt{{AO}^2+{OB}^2}=\sqrt{8^2+9^2}=\sqrt{145}$ (см).
Найдем площадь ромба:
$S_{romba}=\frac{diagonal'1\cdot diagonal'2}{2}=\frac{16\cdot 18}{2}=144$ (кв. см).
Найдем половину периметра ромба:
$\frac{perimetr}{2}=2\cdot storona=2\sqrt{145}$ (см).
Осталось найти радиус вписанной окружности по формуле:
$radius=\frac{S_{romba}}{\frac{1}{2}perimetra}=\frac{144}{2\sqrt{145}}=\frac{72}{\sqrt{145}}$ (см).

Ответ. $\frac{72}{\sqrt{145}}$ (см).

В параллелограмм вписана окружность найдите периметр параллелограмма

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.