tg 2x — 1 — 3 + tg x + 3 = 0 решение

DWQA Questions › tg 2x — 1 — 3 + tg x + 3 = 0 решение

0 +1 -1

Olya Админ. спросил 7 лет назад

Доброй ночи!
Помогите мне разобраться с таким тригонометрическим уравнением: tg 2x — 1 — 3 + tg x + 3 = 0 решение
Заранее спасибо Вам за помощь в этом нелёгком деле, хотя на первый взгляд здесь нет ничего сложного!

1 ответ

0 +1 -1

Smartstudent Админ. ответил 7 лет назад

Доброй ночи!
Вот и вновь Вы обратились к нам. Раз уж вы нам так доверяете, то мы обязаны не подводить Вас и помочь с заданием: tg 2x — 1 — 3 + tg x + 3 = 0 решение.
Итак, вот наше уравнение:

$tg 2x — 1 — 3 + tg x + 3 = 0$

Первым делом мы выполним действия с обычными числами и получим:

$tg 2x - 4 + tg x + 3 = 0$

$tg 2x - 1 + tg x = 0$

Сейчас известное перенесём вправо с изменением знака:

$tg 2x + tg x = 1$

Теперь надо как-то упрощать уравнение. Для этого мы воспользуемся формулой тригонометрии:

$tg 2x = \frac{2 tg x}{1 - tg^{2}x}$

Вставим это в наше уравнение и получим:

$\frac{2 tg x}{1 - tg^{2}x} + tg x = 1$

Приведём левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{2 tg x}{1 - tg^{2}x} + \frac{tg x (1 - tg^{2}x)}{1 - tg^{2}x} = 1$

Избавимся с Вами от знаменателя, путём добавления его в ОДЗ, где $1 - tg^{2}x} \neq 0$ , $- tg^{2}x} \neq - 1$ , $tg^{2}x} \neq 1$ :

$2 tg x + tg x (1 - tg^{2}x) = 1$

В левой части мы наблюдаем одинаковые члены уравнения, которые можем вынести за скобки и получить:

$tg x (2 + 1 - tg^{2}x) = 1$

$tg x (3 - tg^{2}x) = 1$

У нас образовалась система. Первое уравнение в которой :

$tg x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

И второе уравнение:

$3 - tg^{2}x = 1$

$- tg^{2}x = - 2$

$tg^{2}x = 2$

$tg x = \pm\sqrt{2}$

То есть:

$\begin{cases} & tg x = \sqrt{2} \\ & tg x = - \sqrt{2} \end{cases}$

$\begin{cases} & x = arctg (\sqrt{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ & x = arctg (- \sqrt{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Выходит, что у нас такой ответ: $x_{1} = arctg (\sqrt{2}) + \pi k$ , $x_{2} = arctg ( - \sqrt{2}) + \pi k$ , $x_{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

tg 2x — 1 — 3 + tg x + 3 = 0 решение

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.