Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x

DWQA Questionssin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x
0 +1 -1
AsyaAsya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите упростить выражение:
sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x.
Спасибо!

1 ответ
0 +1 -1
AsixAsix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Упростить выражение:
sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x.

Решение.
В выражении присутствуют только синусы, причем от разных аргументов. Поскольку при виде выражения сразу приходит на ум формула суммы синусов, то удобнее будет перегруппировать синусы так, чтобы сумма их аргументов была четной. Для этого сгруппируем первый с третьим, а также второй с четвертым членом:

    \[\left({\sin  x\ }+{\sin  3x\ }\right)+\left({\sin  2x\ }+{\sin  4x\ }\right)=\]

Теперь к каждой скобке применим формулу суммы синусов:

    \[=2{\sin  \frac{x+3x}{2}{\cos  \frac{x-3x}{2}\ }+2{\sin  \frac{2x+4x}{2}{\cos  \frac{2x-4x}{2}\ }=\ }\ }\]

Выполним арифметические расчеты под знаками тригонометрических функций:

    \[=2{\sin  2x{\cos  \left(-x\right)\ }+2{\sin  3x{\cos  \left(-x\right)\ }=\ }\ }\]

У обоих слагаемых есть общий множитель 2{\cos  \left(-x\right)\ }, который можно вынести за скобки:

    \[=2{\cos  \left(-x\right)\ }\left({\sin  2x\ }+{\sin  3x\ }\right)=\]

Учитывая, что функция косинус является четной, запишем:

    \[=2{\cos  x\ }\left({\sin  2x\ }+{\sin  3x\ }\right)=\]

Снова применим формулу суммы синусов к скобке:

    \[=2{\cos  x\ }\cdot 2{\sin  \frac{2x+3x}{2}{\cos  \frac{2x-3x}{2}\ }\ }=\]

Выполним преобразования под знаком тригонометрических функций:

    \[=2{\cos  x\ }\cdot 2{\sin  \frac{5x}{2}{\cos  \frac{-x}{2}\ }\ }=\]

Снова учитываем четность функции косинус и перепишем выражение в новом виде:

    \[=4{\cos  \frac{x}{2}\ }\cdot {\cos  x\ }\cdot {\sin  \frac{5x}{2}\ }\]

Ответ. 4{\cos  \frac{x}{2}\ }\cdot {\cos  x\ }\cdot {\sin  \frac{5x}{2}\ }.

При упрощении выражения была применена только одна формула — сумма синусов, а также свойство четности функции косинус.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.