sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x
Задание.
Упростить выражение:
sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x.
Решение.
В выражении присутствуют только синусы, причем от разных аргументов. Поскольку при виде выражения сразу приходит на ум формула суммы синусов, то удобнее будет перегруппировать синусы так, чтобы сумма их аргументов была четной. Для этого сгруппируем первый с третьим, а также второй с четвертым членом:
Теперь к каждой скобке применим формулу суммы синусов:
Выполним арифметические расчеты под знаками тригонометрических функций:
У обоих слагаемых есть общий множитель , который можно вынести за скобки:
Учитывая, что функция косинус является четной, запишем:
Снова применим формулу суммы синусов к скобке:
Выполним преобразования под знаком тригонометрических функций:
Снова учитываем четность функции косинус и перепишем выражение в новом виде:
Ответ. .
При упрощении выражения была применена только одна формула — сумма синусов, а также свойство четности функции косинус.