Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Вопросы sin 2x + tg x = 2

sin 2x + tg x = 2

DWQA Questions › sin 2x + tg x = 2

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить уравнение:
sin 2x + tg x = 2.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Решить уравнение:
sin 2x + tg x = 2.

Решение.
В уравнении видим две разные функции, причем от разных аргументов. Наша задача свести уравнение к одной из функций, а также желательно и к одинаковому аргументу. Для этого используем формулу синуса двойного угла через тангенс:

${\sin 2x\ }=\frac{2\ {\rm tg}\ x}{1+{{\rm tg}\ }^2x}$

Подставим выражение для синуса двойного угла в исходное уравнение:

$\frac{2\ {\rm tg}\ x}{1+{{\rm tg}\ }^2x}+{\rm tg}\ x-2=0$

Избавимся от дроби, умножив все члены уравнения на знаменатель:

$2\ {\rm tg}\ x+{\rm tg}\ x\cdot \left(1+{{\rm tg}\ }^2x\right)-2\cdot \left(1+{{\rm tg}\ }^2x\right)=0$

$2\ {\rm tg}\ x+{\rm tg}\ x+{{\rm tg}\ }^3x-2-2{{\rm tg}\ }^2x=0$

$3\ {\rm tg}\ x+{{\rm tg}\ }^3x-2-2{{\rm tg}\ }^2x=0$

Введем новую переменную вместо тригонометрической функции тангенс:

${\rm tg}\ x=t$

Подставим ее в уравнение и получим кубическое уравнение:

$t^3-2t^2+3t-2=0$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения и разложим на множители:

$\left(t-1\right)\left(t^2-t+2\right)=0$

Получаем два возможных варианта уравнений:
$t-1=0$ или $t^2-t+2=0$
Решим первое уравнение:

$t-1=0$

$t=1$

Вернемся к тригонометрической функции тангенс и найдем его решение:

${\rm tg}\ x=1$

Запишем все корни этого уравнения:

$x=\frac{\pi}{4}+\pi k, k\in Z$

Рассмотрим второе уравнение:

$t^2-t+2=0$

Вычислим дискриминант этого уравнения:
$D={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8<0$ — действительных корней уравнение не имеет.

Ответ. $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ , $k$ может быть любым целым числом.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

© SolverBook - онлайн сервисы для учебы, 2015

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Почта для связи: info@ru.solverbook.com

Выберите язык:

Сервисы

SolverBook