Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Онлайн калькуляторы Справочник Примеры решений Заказать решение О проекте
Главная Вопросы решить дифференциальное уравнение

решить дифференциальное уравнение

DWQA Questions › решить дифференциальное уравнение
0 +1 -1
OlyaOlya Админ. спросил 7 лет назад

Добрый день. Мне всё ещё не сидится спокойно и я решила начать потихоньку осваивать высшую математику. Но на первой же теме. которую я открыла — впала в ступор. Там появилось такое понятие как дифференциальное уравнение. А я понятия не имею, что это такое. А тем более не могу решить дифференциальное уравнение, которое там просится. Вот и оно: (xy^{2} + x)dx + (y - x^{2}y)dy = 0. Помогите разобраться

1 ответ
0 +1 -1
SmartstudentSmartstudent Админ. ответил 7 лет назад

Добрый день. Очень интересное задание. Если сразу браться за то, как решить дифференциальное уравнение, то будет сложно. Для того, чтоб это сделать, нужно усвоить много тем впереди. Но я надеюсь, что мы разберёмся.
Изначально, давайте вспомни, что такое дифференциальное уравнение. Это уравнение, которое связывает значение производной функции с самой функцией, другими числами (параметрами), значениями независимой переменной.
А теперь давайте решим Ваше уравнение: 

    \[(xy^{2} + x)dx + (y - x^{2}y)dy = 0\]

Это уравнение с разделяющимися переменными.
Первое, что мы сделаем — разведём переменный в разные части: 

    \[(xy^{2} + x)dx = - (y - x^{2}y)dy\]

После разведения. У нас должно получится так, что возле  dx должны быть переменные  x, а возле dy — только переменные y.
Теперь посмотрим на две части, на скобки, и видим, что там есть кое-что общее, что мы можем вынести за скобки: 

    \[x(y^{2} + 1)dx = - y(1 - x^{2})dy\]

Сейчас меняем местами. Так как нужно выполнить условие: возле  dx должны быть переменные  x, а возле dy — только переменные y: 

    \[\frac{x}{1-x^{2}} * dx = - \frac{y}{y^{2} + 1} * dy\]

Перенесём минус с правой части в левую и получим: 

    \[\frac{x}{x^{2} - 1} * dx = - \frac{y}{y^{2} + 1} * dy\]

Данное уравнение уже с разделёнными переменными, которое надо решить интегрированием: 

    \[\int_{}^{}\frac{x}{x^{2}-1}dx = \int_{}^{}\frac{y}{y^{2}+1}dy\]

Вычисляем интегралы: 

    \[\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x}{x^{2}-1}dx = \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2y}{y^{2}+1}dy\]

 

    \[\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}-1}d(x^{2}-1) = \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{y^{2}+1}d(y^{2}+1)\]

Сокращаем обе части на \frac{1}{2}: 

    \[\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}-1}d(x^{2}-1) = \int_{}^{}\frac{1}{y^{2}+1}d(y^{2}+1)\]

Сделаем замену: (x^{2} - 1) = t, (y^{2} + 1) = v : 

    \[\int_{}^{}\frac{dt}{t} = \int_{}^{}\frac{dv}{v}\]

Отсюда: 

    \[\ln|t|+ C = \ln|v|\]

Выполним обратную замену: 

    \[\ln|x^{2} - 1|+ C = \ln|y^{2}+1|\]

Теперь произведём экспоненцирование: 

    \[e^{\ln|x^{2} - 1| + C} = e^{\ln|y^{2} + 1|}\]

Нужно вспомнить основное логарифмическое тождество. Когда мы вспомнили про свойства степеней, то получаем такое выражение: 

    \[|x^{2} - 1| * C} = |y^{2} + 1|\]

Так как справа число 100% получится положительным, то модуль можно убрать: 

    \[y^{2} + 1 = |x^{2} - 1| * C}\]

Переносим единицу: 

    \[y^{2} = С|x^{2} - 1| - 1}\]

 

    \[y = \frac{+}{}\sqrt{C|x^{2} - 1| - 1}\]

Ответ: y = \frac{+}{}\sqrt{C|x^{2} - 1| - 1}

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

© SolverBook - онлайн сервисы для учебы, 2015

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Почта для связи: info@ru.solverbook.com

Выберите язык:
Сервисы
SolverBook
Яндекс.Метрика
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.