Найти общее решение дифференциального уравнения

Пример.
Найдем общее решение дифуравнения:

Решение.
Данное уравнение является неоднородным линейным уравнением.
Общее решение будем находить в виде:

Решение начинается с решения соответствующего данному однородному уравнению:

Для этого составим характеристическое уравнение:

Вынесем k за скобку и решим данное уравнение:

или .
Таким образом, общим решение однородного линейного уравнения будет:

В правой части заданного в условии уравнения функцию представим как произведение многочлена в первой степени на експоненциальную функцию:

В нашем случае . Частное решение будем искать в виде .
Найдём значения первых двух производных для данного частного решения:

Теперь нужно подставить найденные значения производных в заданное дифференциальное уравнение:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части полученного уравнения, получим:

Решим данную систему:

Теперь запишем частное решение:

Запишем общее решение:

Ответ: .