Найти координаты вектора в базисе

DWQA Questions › Найти координаты вектора в базисе

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите выполнить задание:
Даны векторы a (1; 2; 1), b (2; –2; 1), c (1; –2; 0) и d (0; 3; 1). Проверить, образуют ли векторы a, b, c базис, и если да, то найти координаты вектора d в этом базисе.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Даны векторы a (1; 2; 1), b (2; —2; 1), c (1; —2; 0) и d (0; 3; 1). Проверить, образуют ли векторы a, b, c базис, и если да, то найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение.
Запишем соотношение для векторов $d=\alpha a+\beta b+\gamma c$ , которое будет справедливым для каждой проекции вектора на оси. Для этого подставим соответствующие координаты заданных векторов:

$\alpha\cdot 1+\beta\cdot 2+\gamma\cdot 1=0$

$\alpha\cdot 2+\beta\cdot \left(-2\right)+\gamma\cdot 1=3$

$\alpha\cdot 1+\beta\cdot \left(-2\right)+\gamma\cdot 0=1$

В результате получили алгебраическая система из трёх уравнений с тремя неизвестными. Рассматривать возможные способы решения сейчас не будем. Лишь упомяну, что удобнее в данном случае корни вычислить с помощью нескольких методов, например, метода Крамера или же метода обратной матрицы. Мы же воспользуемся следующим методом:

$\left\{ \begin{array}{c} \alpha+2\beta+\gamma=0, \\ 2\alpha-2\beta+\gamma=3, \\ \alpha-2\beta=1 \end{array} \right.$

К первому уравнению добавим третье и запишем результат на месте первого:

$\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ 2\alpha-2\beta+\gamma=3, \\ \alpha-2\beta=1 \end{array} \right.$

От второго уравнения отнимем первое:

$\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ -2\beta=2, \\ \alpha-2\beta=1 \end{array} \right.$

Выразим из второго уравнения $\beta$ :

$\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ \beta=-1, \\ \alpha-2\beta=1 \end{array} \right.$

Подставим это значение в третье уравнение и вычислим значение $\alpha$ :

$\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ \beta=-1, \\ \alpha-2\cdot \left(-1\right)=1 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ \beta=-1, \\ \alpha=-2+1 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ \beta=-1, \\ \alpha=-1 \end{array} \right.$

Подставим последнее полученное значение в первое уравнение, чтобы вычислить значение $\gamma$ :

$\left\{ \begin{array}{c} 2\cdot \left(-1\right)+\gamma=1, \\ \gamma=-1, \\ \gamma=-1 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} \gamma=3, \\ \beta=-1, \\ \alpha=-1 \end{array} \right.$

Запишем решение данной системы:

$\alpha=-1$

$\beta=-1$

$\gamma=3$

Следовательно, вектор d также будет иметь разложение в базисе векторов a, b, c:

$d=-a-b+3c$

Ответ. $d=-a-b+3c$ .

Найти координаты вектора в базисе

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.