Методы решения тригонометрических уравнений

DWQA Questions › Методы решения тригонометрических уравнений

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Расскажите, пожалуйста, про методы решения тригонометрических уравнений. было бы понятнее на примерах.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Методы решения тригонометрических уравнений
Решая тригонометрические уравнения, используют общие принципы решения алгебраических уравнений. При использовании неравносильных преобразований уравнений необходимо выполнить проверку принадлежности найденных значений неизвестного к корням исходного уравнения.
Практически каждое уравнение можно решить несколькими способами, что при правильно выполненных действиях даст один и тот же окончательный результат. Бывают случаи, что разные методы дают разные результаты, которые можно привести к одинаковому виду с помощью тождественных преобразований.
Рассмотрим на примерах наиболее используемые методы решения тригонометрических уравнений.

Метод замены переменной

Решим уравнение $6{{\sin }^2 x\ }-5{\sin x\ }+1=0$ .

Решение.
Выполним замену тригонометрической функции любой переменной:

$z={\sin x\ }$

Так как функция синус ограничена значениями от —1 до 1, то и к переменной z должны применяться эти же ограничения.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$6z^2-5z+1=0$

Данное уравнение имеет два корня:

$z_1=\frac{1}{2}$

$z_2=\frac{1}{3}$

Проверяем полученные значения на ограничения. Поскольку оба значения удовлетворяют условию, что переменная z должна быть больше —1 и меньше 1, возвращаемся к тригонометрической функции и получаем два уравнения:
${\sin x\ }=\frac{1}{2}$ и ${\sin x\ }=\frac{1}{3}$
Решив оба уравнения, получаем корни исходного уравнения:
$x={\left(-1\right)}^r\cdot \frac{\pi}{6}+\pi r$ и $x={\left(-1\right)}^s\cdot {\arcsin \frac{1}{3}\ }+\pi s$

Ответ. $x={\left(-1\right)}^r\cdot \frac{\pi}{6}+\pi r$ , $x={\left(-1\right)}^s\cdot {\arcsin \frac{1}{3}\ }+\pi s$ .

Равенство одинаковых тригонометрических функций

Для данного метода используются следующие уравнения:
— при варианте ${\sin x\ }={\sin y\ }$ принимается $x={\left(-1\right)}^r\cdot y+\pi r$
— при ${\cos x\ }={\cos y\ }$ принимается $x=\pm y+2\pi r$
— при ${{\rm tg} x\ }={{\rm tg} y\ }$ принимается $x=y+\pi r$

Решим уравнение ${\sin \left(6x-\frac{\pi}{3}\right)\ }={\sin \left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\ }$

Решение.
Поскольку функции одинаковые, то их аргументы будут также одинаковы. Решим новое уравнение:

$6x-\frac{\pi}{3}={\left(-1\right)}^r\cdot \left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\pi r$

Решая уравнение, получаем:

$x=\frac{\frac{\pi}{3}+{\left(-1\right)}^r\cdot \frac{\pi}{4}+\pi r}{6-{\left(-1\right)}^r\cdot 2}$

При чётном r получаем корень:

$x_1=\frac{7}{48}\pi+\frac{\pi}{2}l, l\in Z$

При нечётном r получаем корень:

$x_2=\frac{13}{96}\pi+\frac{\pi}{4}m, m\in Z$

Метод разложения на множители

Решим уравнение ${{\cos }^2 x\ }+{\sin x\ }{\cos x\ }=1$ .

Решение.

${{\cos }^2 x\ }+{\sin x\ }{\cos x\ }-1=0$

${{\cos }^2 x\ }+{\sin x\ }{\cos x\ }-{{\cos }^2 x\ }-{{\sin }^2 x\ }=0$

${\sin x\ }{\cos x\ }-{{\sin }^2 x\ }=0$

${\sin x\ }\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)=0$

${\sin x\ }=0$ или ${\cos x\ }-{\sin x\ }=0$
1) ${\sin x\ }=0$

$x=\pi n$

2) ${\cos x\ }-{\sin x\ }=0$

${\rm tg}\ x=0$

$x=\frac{\pi}{4}+\pi k$

Ответ. $x=\pi n$ , $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ .

Метод приведения к однородному уравнению

Решим уравнение $3{\sin x\ }+4{\cos x\ }=1$

Решение.
Используем формулу двойного угла и основное тригонометрическое тождество, перейдем к половинному аргументу:

$3\cdot 2{\sin \frac{x}{2}\ }{\cos \frac{x}{2}\ }+4{{\cos }^2 \frac{x}{2}\ }-4{{\sin }^2 \frac{x}{2}\ }={{\sin }^2 \frac{x}{2}\ }+{{\cos }^2 \frac{x}{2}\ }$

$5{{\sin }^2 \frac{x}{2}\ }-6{\sin \frac{x}{2}\ }{\cos \frac{x}{2}\ }-3{{\cos }^2 \frac{x}{2}\ }=0$

Разделим на ${{\cos }^2 \frac{x}{2}\ }\ne 0$ :

$5{{{\rm tg}}^2 \frac{x}{2}\ }-6{{\rm tg} \frac{x}{2}\ }-3=0$

Получили уравнение от одной переменной, которое решается методом 1.

Методы решения тригонометрических уравнений

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.