Методы решения тригонометрических уравнений
Здравствуйте!
Расскажите, пожалуйста, про методы решения тригонометрических уравнений. было бы понятнее на примерах.
Спасибо!
Методы решения тригонометрических уравнений
Решая тригонометрические уравнения, используют общие принципы решения алгебраических уравнений. При использовании неравносильных преобразований уравнений необходимо выполнить проверку принадлежности найденных значений неизвестного к корням исходного уравнения.
Практически каждое уравнение можно решить несколькими способами, что при правильно выполненных действиях даст один и тот же окончательный результат. Бывают случаи, что разные методы дают разные результаты, которые можно привести к одинаковому виду с помощью тождественных преобразований.
Рассмотрим на примерах наиболее используемые методы решения тригонометрических уравнений.
- Метод замены переменной
Решим уравнение .
Решение.
Выполним замену тригонометрической функции любой переменной:
Так как функция синус ограничена значениями от —1 до 1, то и к переменной z должны применяться эти же ограничения.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
Данное уравнение имеет два корня:
Проверяем полученные значения на ограничения. Поскольку оба значения удовлетворяют условию, что переменная z должна быть больше —1 и меньше 1, возвращаемся к тригонометрической функции и получаем два уравнения:
и
Решив оба уравнения, получаем корни исходного уравнения:
и
Ответ. , .
- Равенство одинаковых тригонометрических функций
Для данного метода используются следующие уравнения:
— при варианте принимается
— при принимается
— при принимается
Решим уравнение
Решение.
Поскольку функции одинаковые, то их аргументы будут также одинаковы. Решим новое уравнение:
Решая уравнение, получаем:
При чётном r получаем корень:
При нечётном r получаем корень:
- Метод разложения на множители
Решим уравнение .
Решение.
или
1)
2)
Ответ. , .
- Метод приведения к однородному уравнению
Решим уравнение
Решение.
Используем формулу двойного угла и основное тригонометрическое тождество, перейдем к половинному аргументу:
Разделим на :
Получили уравнение от одной переменной, которое решается методом 1.