log|x-1|(x-2)^2 ≤ 2 решите неравенство
Flexy спросил 7 лет назад
Доброй ночи!
Столкнулся со сложностями при решении неравенства с логарифмом.
log|x-1|(x-2)^2 ≤ 2
Буду благодарен, если вы мне поможете. Спасибо.
Teacher ответил 7 лет назад
Добрый вечер!
Давайте разбираться с Вашим заданием.
Итак, имеем неравенство:
log|x-1|(x-2)^2 ≤ 2
Для начала определим область допустимых значений.
Основание логарифма |x-1| должно быть больше нуля и не должно быть равным единице.
Число (x-2)^2, стоящее под логарифмом, должно быть больше нуля.
Условия |x-1|>0 и (x-2)^2>0 выполняются при любом случае (исключим 1).
Рассмотрим третье условие:
|x-1| ≠ 1
Открываем модуль:
x-1 ≠ 1,
x-1 ≠ -1;
x ≠ 2
x ≠ 0
ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ 0
Теперь начнем решать наше неравенство.
log|x-1|(x-2)^2 ≤ 2;
Так как основание больше 1, то можем записать неравенство следующим образом:
(x-2)^2 ≤ |x-1|^2;
В левой и правой части проводим операцию возведения в квадрат. При этом знак модуля можно опустить, так как выражение в квадрате в любом случае неотрицательное:
x^2-4x+4 ≤ x^2-2x+1;
Видим с обеих частей неравенства x^2 со знаком «+», поэтому можем его сократить:
-4x+4 ≤ -2x+1;
Переносим слагаемые с иксом влево, а без икса — вправо и приводим подобные слагаемые:
-4x+2x ≤ 1-4;
-2x ≤ -3;
Делим обе части неравенства на (-2), при этом меняя знак неравенства на противоположный:
x ≥ 3/2;
Приводим неправильную дробь справа к десятичному виду:
x ≥ 1,5;
Помним, что у нас есть ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ 0.
Учитывая ОДЗ записываем решение неравенства:
x є [1,5; 2) U (2; +∞).
Ответ: [1,5; 2) U (2; +∞).
