log 4 (sin x + sin 2x + 16) = 2

DWQA Questions › log 4 (sin x + sin 2x + 16) = 2

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить уравнение:
log4 (sin x + sin 2x + 16) = 2.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Решить уравнение:
log4 (sin x + sin 2x + 16) = 2.

Решение.
Запишем уравнение:

${{\log }_4 \left({\sin x\ }+{\sin 2x\ }+16\right)\ }=2$

Воспользуемся определением логарифма, согласно которому перейдем от знака логарифма к степени:

${\sin x\ }+{\sin 2x\ }+16=4^2$

Оставим в левой части тригонометрические функции, а в правую перенесем все остальные слагаемые и выполним преобразования:

${\sin x\ }+{\sin 2x\ }=4^2-16$

${\sin x\ }+{\sin 2x\ }=16-16$

${\sin x\ }+{\sin 2x\ }=0$

Получили простое тригонометрическое уравнение, к левой части которого применим формулу суммы синусов:

$2{\sin \frac{x+2x}{2}\ }{\cos \frac{x-2x}{2}\ }=0$

Упростим выражения под знаком тригонометрических функций:

$2{\sin \frac{3x}{2}\ }{\cos \frac{-x}{2}\ }=0$

Обратим внимание на минус под знаком тригонометрической функции косинус. Поскольку функция косинус является четной, то знаком «минус» можно пренебречь:

$2{\sin \frac{3x}{2}\ }{\cos \frac{x}{2}\ }=0$

Можно обе части ур-ния разделить на 2:

${\sin \frac{3x}{2}\ }{\cos \frac{x}{2}\ }=0$

Такие ур-ния решаются разбиением на два ур-ния, каждый множитель в левой части которого может быть равен нулю:
${\sin \frac{3x}{2}\ }=0$ или ${\cos \frac{x}{2}\ }=0$ .
Синус равен нулю через каждые Пи, поэтому решением первого ур-ния будет следующее: