Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Как решить тригонометрические уравнения

DWQA QuestionsКак решить тригонометрические уравнения
0 +1 -1
AsyaAsya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Как решить тригонометрические уравнения:
1) \cos^2\left(7x-\frac{\pi}{11}\right)+4\cos\left(7x-\frac{\pi}{11}\right)+2=0;
2) \sin^2x+17\sin x\cos x+13\cos^2x=5.
Спасибо всем, кто откликнется на просьбу о помощи!!

1 ответ
0 +1 -1
AsixAsix Админ. ответил 7 лет назад

Пример 1.
Решим уравнение {cos\ }^2\left(7x-\frac{\pi}{11}\right)+4{\cos  \left(7x-\frac{\pi}{11}\right)+2=0\ }\.

Решение.
Выполним замену {\cos  \left(7x-\frac{\pi}{11}\right)\ }=z.
Запишем заданное уравнение через переменную z:

    \[z^2+4z+2=0.\]

Найдем корни полученного уравнения:

    \[z_1\approx -3,4;\]

    \[z_2\approx -0,6.\]

Вернемся к переменной х:
1) {\cos  \left(7x-\frac{\pi}{11}\right)\ }=-3,4;

    \[7x-\frac{\pi}{11}=\pm {\arccos  \left(-3,4\right)+2\pi k\ },\]

    \[7x-\frac{\pi}{11}=\pi \mp {{\rm arccos\ 3,4} +2\pi k\ },\]

    \[x_1=\frac{\pi \mp {\arccos  3,4+\frac{\pi}{11}+2\pi k\ }}{7},\]

2) {\cos  \left(7x-\frac{\pi}{11}\right)\ }=-0,6;

    \[7x-\frac{\pi}{11}=\pm {\arccos  \left(-0,6\right)+2\pi n\ },\]

    \[7x-\frac{\pi}{11}=\pi \mp {\arccos  0,6+2\pi n\ },\]

    \[x_2=\frac{\pi \mp {\arccos  0,6+\frac{\pi}{11}+2\pi n\ }}{7}.\]

Ответ. \ x_1=\frac{\pi \mp {\arccos  3,4+\frac{\pi}{11}+2\pi k\ }}{7},\ x_2=\frac{\pi \mp {\arccos  0,6+\frac{\pi}{11}+2\pi n\ }}{7}.

Второе уравнение решается методом приведения к однородному уравнению.
Уравнение однородное, если все его члены имеют одинаковую степень и одинаковый угол.
Для решения однородного уравнения:
1) все его члены переносят в левую часть;
2) все общие множители выносят за скобки;
3) все множители и скобки приравнивают к нулю;
4) в результате приравнивания к нулю получают однородное уравнение с пониженной степенью, которое делят на sin или cos в наибольшей степени;
5) решают уравнение относительно тангенса.

Пример 2.
Решим уравнение {sin}^2x+17{\sin  x\ }{\cos  x\ }+13{cos}^2x=5.

Решение.

    \[{sin}^2x+17{\sin  x\ }{\cos  x\ }+13{cos}^2x=5{sin}^2x+5{cos}^2x,\]

    \[4{sin}^2x-17{\sin  x\ }{\cos  x\ }-8{cos}^2x=0,\]

    \[4{tg}^2x-17{{\rm tg} x\ }-8=0.\]

Выполним замену tg\ x=y и запишем уравнение с ее использованием:

    \[4y^2-17y-8=0.\]

Найдем корни уравнения:

    \[D={\left(-17\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-8\right)=289+128=417;\]

    \[y_1=\frac{17-\sqrt{417}}{2\cdot 4}=\frac{17-\sqrt{417}}{8}\approx -0,4;\]

    \[y_2=\frac{17+\sqrt{417}}{2\cdot 4}=\frac{17+\sqrt{417}}{8}\approx 4,7.\]

Вернемся к переменной \textit{х}:
1) tg x = —0,4;
x_1= - arctg 0,4+\pi k;
2) tg x = 4,7;
x_2=arctg 4,7+\pi n.

Ответ. x_1= - arctg 0,4+\pi k; x_2=arctg 4,7+\pi n.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.