Как решать логарифмические уравнения

DWQA Questions › Как решать логарифмические уравнения

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Как решать логарифмические уравнения? Есть ли какие-то типичные случаи?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Если в уравнении в основании логарифма или под его знаком находится неизвестная величина, то такое уравнение является логарифмическим.
Существует несколько основных способов решения логарифмических уравнений. Рассмотрим их.

1-й способ. С помощью определения логарифма.

Пример 1. Решим уравнение

${{\log }_{7x+13} 17\ }=2$

Решение.
Используем определение логарифма и запишем уравнение в таком виде:

${\left(7x+13\right)}^2=17.$

Возведем левую часть уравнения в квадрат и получим:

$49x^2+182x+169=17;$

$49x^2+182x+152=0.$

Найдем корни полученного уравнения через дискриминант:

$D={182}^2-4\cdot 49\cdot 152=33124-29792=3332;$

$x_1=\frac{-182-\sqrt{3332}}{2\cdot 49}=\frac{-182-2\sqrt{833}}{98}=-\frac{91+\sqrt{833}}{49}\approx -2,45;$

$x_2=\frac{-182+\sqrt{3332}}{2\cdot 49}=\frac{-182+2\sqrt{833}}{98}=-\frac{91-\sqrt{833}}{49}\approx -1,27.$

Не забываем также о том, что для данной логарифмической функции должны выполняться такие условия:

$\left\{ \begin{array}{c} 7x+13>0, \\ 7x+13\ne 1;; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} 7x>-13, \\ 7x\ne -12;; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} x>-\frac{13}{7}, \\ x\ne -\frac{12}{7};; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} x>-1\frac{6}{7}, \\ x\ne -1\frac{5}{7};; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} x>-1,86, \\ x\ne -1,71. \end{array} \right.$

Проверив наши корни получаем, что один из корней не подходит под рассмотренные условия. Получаем только одно решение данного уравнения: $x\approx -1,27$ .

Ответ. $x\approx -1,27$ .

2-й способ. С помощью свойств логарифма.

Пример 2.
Решим уравнение ${{\log }_{13} x\ }+{{\log }_{13} \left(x+13\right)={{\log }_{13} \left(x+29\right)\ }\ }$ .

Решение.
Сначала найдем область допустимых значений логарифмических функций в данном уравнении:

$\left\{ \begin{array}{c} x>0, \\ x+13>0, \\ x+29>0;; \end{array} \right.$

Решением данной системы является \textit{x $>$ 0}.
Теперь воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковыми основаниями и получим:

${{\log }_{13} x\ }+{{\log }_{13} \left(x+13\right)={{\log }_{13} \left(x+29\right)\ }\ };$

${{\log }_{13}x \left(x+13\right)={{\log }_{13} \left(x+29\right)\ }\ }.$

Сейчас можно опустить знаки логарифма и приравнять лишь подлогарифмические выражения (согласно свойствам логарифма):

${x\left(x+13\right) =x+29\ }.$

Осталось решить полученное уравнение:

$x^2+13x=x+29;$

$x^2+12x-29=0;$

$D={12}^2-4\cdot 1\cdot \left(-29\right)=144+116=260;$

$x_1=\frac{-12-\sqrt{260}}{2\cdot 1}=\frac{-12-2\sqrt{65}}{2}=-6-\sqrt{65}\approx -14,1;$

$x_2=\frac{-12+\sqrt{260}}{2\cdot 1}=\frac{-12+2\sqrt{65}}{2}=-6+\sqrt{65}\approx 2,1.$

Согласно нашему ОДЗ один из корней не подходит, поэтому решением уравнения будет $x\approx 2,1$ .

Ответ. $x\approx 2,1$ .

Используются также некоторые специальные методы, метод подстановки и т.п.

Как решать логарифмические уравнения

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.