Как решать кубические уравнения

DWQA Questions › Как решать кубические уравнения

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите с теоретическим материалом по вопросу «Как решать кубические уравнения». Какие есть варианты или алгоритмы решений?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

У любого кубического уравнения, которое имеет действительные коэффициенты, как минимум один действительный корень, а остальные два —тоже действительные или комплексно сопряженная пара.
Рассмотрим основные случаи и способы решения кубических уравнений.

Начнем с решения двучленного кубического уравнения.
Уравнение вида $Lx^3+N=0$ сводится к виду $x^3+\frac{N}{L}=0$ простым делением всех членов уравнения на коэффициент возле х. В нашем случае это L.
Затем применяются формулу сокращенного умножения для суммы кубов:

$\left(x+\sqrt[3]{\frac{N}{L}}\right)\left(x^2-\sqrt[3]{\frac{N}{L}}x+\sqrt[3]{{\left(\frac{N}{L}\right)}^2}\right)=0.$

Далее оба множителя приравниваются к нулю:

$x+\sqrt[3]{\frac{N}{L}}=0$

$x^2-\sqrt[3]{\frac{N}{L}}x+\sqrt[3]{{\left(\frac{N}{L}\right)}^2}=0.$

Из первого уравнения получается:

$x=-\sqrt[3]{\frac{N}{L}}.$

Квадратный трехчлен во втором уравнении будет иметь только комплексные корни.

Теперь рассмотрим как решать возвратные кубические уравнения.
К уравнению вида $Lx^3+Nx^2+Nx+L=0$ применяют метод группировки и получают:

$L\left(x^3+1\right)+N\left(x^2+x\right)=0.$

Далее множитель $x^3+1$ расписывают по формуле сокращенного умножения для суммы кубов и получают:

$L\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+Nx\left(x+1\right)=0.$

Как видим, в обоих слагаемых есть одинаковый множитель \textit{х+1}, который выносят за скобки. Получают:

$\left(x+1\right)\left(Lx^2+x\left(N-L\right)+L\right)=0.$

Оба множителя приравнивают к нулю и получают, что один из корней такого уравнения будет х = —1, а корни квадратного уравнения ${Lx}^2+x\left(N-L\right)+L=0$ можно найти с помощью дискриминанта.

Как решать кубические уравнения

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.