Как найти скалярное произведение векторов

DWQA Questions › Как найти скалярное произведение векторов

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Добрый день. В школе учили скалярное произведение векторов. Тема, насколько помню, несложная, но хотелось бы освежить в памяти как найти скалярное произведение векторов. С примерами было бы более понятно. Заранее благодарю!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Что такое скалярное произведение векторов
Представим себе два вектора, которые выходят из произвольной точки М. Изобразим векторы $\bar{a}$ и и точку М на рисунке:

Между векторами образуется угол, который принято обозначать $\angle\left(\bar{a}, \bar{b}\right)$ или $\left(\bar{a}, \bar{b}\right)$ .
Будем рассматривать так называемые ненулевые векторы (то есть длина которых больше нуля).

Скалярное произведение принято обозначать $\bar{a}\cdot\bar{b}$ или $\bar{a}\bar{b}$ .
Результатом скалярного произведения является число.

Скалярное произведение векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ равно числу, которое равно произведению модулей (длин) данных векторов и косинуса угла между векторами:

$\bar{a}\cdot\bar{b}=|\bar{a}|\cdot|\bar{b}|\cdot cos \left(\bar{a}, \bar{b}\right).$

Угол между данными векторами может быть от 0 до 180 градусов.

Как найти скалярное произведение векторов

Пример
Найти скалярное произведение $\bar{a}\cdot\bar{b}$ , если известно, что $|\bar{a}|=17$ , $|\bar{b}|=3$ , а угол между векторами $\left(\bar{a}, \bar{b}\right)=30^{\circ}$ .

Решение:
Воспользуемся формулой $\bar{a}\cdot\bar{b}=|\bar{a}|\cdot|\bar{b}|\cdot cos \left(\bar{a}, \bar{b}\right)$ .
Подставим известные данные в формулу:

$\bar{a}\cdot\bar{b}=17\cdot3\cdot cos 30^{\circ}=51\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=25,5\sqrt{3}.$

Ответ: $\bar{a}\cdot\bar{b}=25,5\sqrt{3}$ .

Значение скалярного произведения может быть как положительным, так и отрицательным.
Рассмотрим формулу $\bar{a}\cdot\bar{b}=|\bar{a}|\cdot|\bar{b}|\cdot cos \left(\bar{a}, \bar{b}\right)$ .. Так как значения модулей ненулевых векторов может быть только положительным, то значение скалярного произведения зависит от знака косинуса. Знак косинуса зависит в свою очередь от значения угла между векторами:

$\bar{a}\cdot\bar{b}$ будет положительным числом, если угол между векторами – острый.
$\bar{a}\cdot\bar{b}$ будет отрицательным числом, сели угол между векторами – тупой.

Как найти скалярное произведение векторов

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.