Как найти орт вектора?

DWQA Questions › Как найти орт вектора?

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Что такое орт вектора? Как его можно вычислить? Буду благодарна за простое и прозрачное объяснение. Очень нужно для сдачи зачета как можно быстрее.

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Ортом называют вектор, у которого длина равна единице. Обозначают орт буквой $\vec{e}$ .
Можно найти орт любого вектора. Для этого необходимо найти длину данного вектора, а затем первую и вторую координату данного вектора разделить на найденную длину.
Например, орт $\vec{e}$ вектора $\vec{a}$ находят по формуле:

$\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}.$

Рассмотрим вектор на плоскости, заданный координатами $\vec{a}=\left(a_{1}; a_{2}\right)$ . Орт вектора $\vec{a}$ находится с помощью следующей формулы:

$\vec{e}=\left(\frac{a_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}; \frac{a_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}\right).$

Рассмотрим вектор, заданный на плоскости координатами $\vec{a}=\left(a_{1}; a_{2}; a_{3}\right)$ . Запишем формулу орта данного вектора:

$\vec{e}=\left(\frac{a_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}; \frac{a_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}; \frac{a_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}\right).$

Пример
На плоскости существует вектор $\vec{b}=\left(\sqrt{17}; -\frac{\sqrt{3}}{7}\right)$ . Найдем его орт.
Решение.
Чтобы найти орт любого вектора можно воспользоваться формулой для $\vec{e}$ , которую рассмотрели выше.
Найдем координаты искомого единичного вектора, подставив известные координаты заданного вектора:

$\vec{e}=\left(\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{\left(\sqrt{17}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{7}\right)^{2}}}; \frac{-\frac{\sqrt{3}}{7}}{\sqrt{\left(\sqrt{17}\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{7}\right)^{2}}}\right).$

Выполним необходимые преобразования, чтобы получить искомые координаты:

$\vec{e}=\left(\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{\frac{836}{49}}}; \frac{-\frac{\sqrt{3}}{7}}{\sqrt{\frac{836}{49}}}\right)=$

$=\left(\frac{\sqrt{17}}{\frac{2\sqrt{209}}{7}}; -\frac{\sqrt{3}\cdot7}{7\cdot2\sqrt{209}}\right)=$

$=\left(\frac{7\sqrt{17}}{2\sqrt{209}}; -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{209}}\right)=\left(3,5\sqrt{\frac{17}{209}}; -0,5\sqrt{\frac{3}{209}}\right).$

Ответ: $\vec{e}=\left(3,5\sqrt{\frac{17}{209}}; -0,5\sqrt{\frac{3}{209}}\right)$ .
Можно решить также пример нахождения орта вектора по заданным концам этого вектора.
Пример.
Дан вектор на плоскости, координаты которого равны $A\left(-17; \sqrt{21}; -\sqrt{33}\right)$ и $B\left(36; -2\sqrt{21}; \sqrt{33}\right)$ . Найдем единичный вектор вектора $\vec{AB}$ .
Решение:
Находим координаты вектора $\vec{AB}$ :

$\vec{AB}=\left(36-(-17); -2\sqrt{21}-\sqrt{21}; \sqrt{33}-(-\sqrt{33})\right).$

Теперь можем найти орт вектора $\vec{AB}$ :

$\vec{e}=\left(\frac{53}{\sqrt{53^{2}+(-3\sqrt{21})^{2}+(2\sqrt{33})^{2}}}; \frac{-3\sqrt{21}}{\sqrt{53^{2}+(-3\sqrt{21})^{2}+(2\sqrt{33})^{2}}};$

$\frac{2\sqrt{33}}{\sqrt{53^{2}+(-3\sqrt{21})^{2}+(2\sqrt{33})^{2}}}\right)=\left(\frac{53}{\sqrt{3130}}; -\frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{3130}}; \frac{2\sqrt{33}}{\sqrt{3130}}\right).$

Ответ: $\vec{e}=\left(\frac{53}{\sqrt{3130}}; -\frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{3130}}; \frac{2\sqrt{33}}{\sqrt{3130}}\right)$ .

Как найти орт вектора?

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.