Как найти направляющие косинусы вектора

DWQA Questions › Как найти направляющие косинусы вектора

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Доброго времени суток!
Как найти направляющие косинусы вектора? Помогите решить!
На плоскости задан вектор b = (11; –17). Найти направляющие косинусы этого вектора.
В пространстве задан вектор d = (13; –17; 23). Найти его направляющие векторы и записать единичный вектор направлений данного вектора.
Благодарю!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Для того, чтобы вычислить направляющие косинусы вектора, который задан на плоскости, следует каждую координату вектора разделить на длину этого вектора. Запишем формулу для расчета направляющих косинусов вектора а:

${\cos \alpha\ }=\frac{x}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$

${\cos \beta\ }=\frac{y}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$

Когда вектор задан тремя координатами, значит, он находится в пространстве и направляющие косинусы данного вектора будут рассчитываться по следующим формулам:

${\cos \alpha\ }=\frac{x}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$

${\cos \beta\ }=\frac{y}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$

${\cos \gamma\ }=\frac{z}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.$

Пример 1.
На плоскости задан вектор b = (11; —17). Найдем направляющие косинусы этого вектора.

Решение.
Поскольку вектор задан на плоскости, то будем использовать соответствующие данной ситуации формулы. Подставим известные координаты данного вектора и найдем искомые направляющие косинусы:

${\cos \alpha\ }=\frac{x}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{11}{\sqrt{{11}^2+{\left(-17\right)}^2}}=\frac{11}{\sqrt{121+289}}=\frac{11}{\sqrt{410}},$

${\cos \beta\ }=\frac{y}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{-17}{\sqrt{{11}^2+{\left(-17\right)}^2}}=-\frac{17}{\sqrt{121+289}}=-\frac{17}{\sqrt{410}}.$

Ответ. ${\cos \alpha\ }=\frac{11}{\sqrt{410}}$ , ${\cos \beta\ }=-\frac{17}{\sqrt{410}}$ .

Пример 2.
В пространстве задан вектор d = (13; —17; 23). Найдем его направляющие векторы и запишем единичный вектор направлений данного вектора.

Решение.
Поскольку вектор задан в пространстве, то воспользуемся соответствующими формулами для нахождения его направляющих косинусов. Подставим заданные координаты в эти формулы:

${\cos \alpha\ }=\frac{x}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{13}{\sqrt{{13}^2+{\left(-17\right)}^2+{23}^2}}=\frac{13}{\sqrt{169+289+529}}=\frac{13}{\sqrt{987}},$

${\cos \beta\ }=\frac{y}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{-17}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-\frac{17}{\sqrt{169+289+529}}=-\frac{17}{\sqrt{987}},$

${\cos \gamma\ }=\frac{z}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{23}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{23}{\sqrt{169+289+529}}=\frac{23}{\sqrt{987}}.$

Составим единичный вектор направлений заданного вектора d. Для этого достаточно вместо его координат записать соответствующие направляющие косинусы:

$\overrightarrow{d_0}=\left({\cos \alpha\ };{\cos \beta\ };{\cos \gamma\ }\right)=\left(\frac{13}{\sqrt{987}};\ -\frac{17}{\sqrt{987}};\ \frac{23}{\sqrt{987}}\right).$

Ответ. ${\cos \alpha\ }=\frac{13}{\sqrt{987}}$ , ${\cos \beta\ }=-\frac{17}{\sqrt{987}}$ , ${\cos \gama\ }=\frac{23}{\sqrt{987}}$ , $\overrightarrow{d_0}=\left(\frac{13}{\sqrt{987}};;\ -\frac{17}{\sqrt{987}};;\ \frac{23}{\sqrt{987}}\right)$ .

Как найти направляющие косинусы вектора

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.