5 sin x + cos x = 5
Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить уравнение:
5 sin x + cos x = 5.
Буду благодарна за подробное объяснение.
Спасибо!
Задание.
Решить уравнение:
5 sin x + cos x = 5.
Решение.
В уравнении присутствуют две разные тригонометрические функции от одного аргумента. Для удобного решения нужно перейти к какой-либо одной из функций. Для этого будем использовать основное тригонометрическое тождество:
Выразим из него функцию косинус:
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
Оставим в левой части уравнения корень, а все остальное перенесем в правую часть:
Избавимся от квадратного корня, для чего возведем обе части уравнения во вторую степень:
К выражению в правой части применим формулу квадрата разности:
Перенесем все члены уравнения влево, оставив справа только ноль:
Обратим внимание на коэффициенты. Очевидно, что каждый из них можно сократить на 2:
Выполним замену тригонометрической функции синус от х на переменную z. Будем учитывать, что так как функция синус определена на промежутке от —1 до 1, то и переменная t может принимать только значения из указанного промежутка:
Найдем дискриминант:
Вычислим корни:
Перейдем к исходной переменной и получим два тригонометрических уравнения:
и
Решим первое:
Решим второе:
Переменная k принадлежит множеству Z.
Ответ. , , k принадлежит множеству Z.