Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

5 sin x + cos x = 5

DWQA Questions5 sin x + cos x = 5
0 +1 -1
AsyaAsya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить уравнение:
5 sin x + cos x = 5.
Буду благодарна за подробное объяснение.
Спасибо!

1 ответ
0 +1 -1
AsixAsix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Решить уравнение:
5 sin x + cos x = 5.

Решение.
В уравнении присутствуют две разные тригонометрические функции от одного аргумента. Для удобного решения нужно перейти к какой-либо одной из функций. Для этого будем использовать основное тригонометрическое тождество:

    \[{{\sin }^2 x\ }+{{\cos }^2 x\ }=1\]

Выразим из него функцию косинус:

    \[{{\cos }^2 x\ }=1-{{\sin }^2 x\ }\]

    \[\sqrt{{{\cos }^2 x\ }}=\sqrt{1-{{\sin }^2 x\ }}\]

    \[{\cos  x\ }=\sqrt{1-{{\sin }^2 x\ }}\]

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

    \[5{\sin  x\ }+\sqrt{1-{{\sin }^2 x\ }}=5\]

Оставим в левой части уравнения корень, а все остальное перенесем в правую часть:

    \[\sqrt{1-{{\sin }^2 x\ }}=5-5{\sin  x\ }\]

Избавимся от квадратного корня, для чего возведем обе части уравнения во вторую степень:

    \[{\left(\sqrt{1-{{\sin }^2 x\ }}\right)}^2={\left(5-5{\sin  x\ }\right)}^2\]

К выражению в правой части применим формулу квадрата разности:

    \[1-{{\sin }^2 x\ }=25-50{\sin  x\ }+25{{\sin }^2 x\ }\]

Перенесем все члены уравнения влево, оставив справа только ноль:

    \[26{{\sin }^2 x-50{\sin  x\ }+24=0\ }\]

Обратим внимание на коэффициенты. Очевидно, что каждый из них можно сократить на 2:

    \[13{{\sin }^2 x-25{\sin  x\ }+12=0\ }\]

Выполним замену тригонометрической функции синус от х на переменную z. Будем учитывать, что так как функция синус определена на промежутке от —1 до 1, то и переменная t может принимать только значения из указанного промежутка:

    \[13t^2-25t+12=0\]

Найдем дискриминант:

    \[D={\left(-25\right)}^2-4\cdot 13\cdot 12=625-624=1\]

Вычислим корни:

    \[t_1=\frac{25-1}{2\cdot 13}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}\]

    \[t_2=\frac{25+1}{2\cdot 13}=\frac{26}{26}=1\]

Перейдем к исходной переменной и получим два тригонометрических уравнения:
{\sin  x\ }=\frac{12}{13} и {\sin  x\ }=1
Решим первое:

    \[x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\]

Решим второе:

    \[x={\left(-1\right)}^k\cdot {\arcsin  \frac{12}{13}\ }+\pi k\]

Переменная k принадлежит множеству Z.

Ответ. x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, x={\left(-1\right)}^k\cdot {\arcsin  \frac{12}{13}\ }+\pi k, k принадлежит множеству Z.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.