–5 sin 2x – 16 (sin x – cos x) + 8 = 0

DWQA Questions › –5 sin 2x – 16 (sin x – cos x) + 8 = 0

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить уравнение:
–5 sin 2x – 16 (sin x – cos x) + 8 = 0.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Решить уравнение:
-5 sin 2x — 16 (sin x — cos x) + 8 = 0.

Решение.
Запишем уравнение:

$-5{\sin 2x\ }-16\ ({\sin x\ }-{\cos x\ })+8=0$

К синусу от 2х применим формулу синуса двойного угла:

${\sin 2x\ }=2{\sin x\ }{\cos x\ }$

Запишем полученное уравнение:

$-5\cdot 2{\sin x\ }{\cos x\ }-16\ ({\sin x\ }-{\cos x\ })+8=0$

Далее попробуем привести данное уравнение к квадратному. Для этого число 8 представим в виде суммы числа 3 и числа 5, умноженного на основное тригонометрическое тождество:

$8=5\cdot 1+3$

$8=5\cdot \left({{\sin }^2 x\ }+{{\cos }^2 x\ }\right)+3$

Подставим полученное выражение для числа 8 в уравнение:

$-5\cdot 2{\sin x\ }{\cos x\ }-16\ ({\sin x\ }-{\cos x\ })+5\cdot \left({{\sin }^2 x\ }+{{\cos }^2 x\ }\right)+3=0$

Из первого и третьего членов вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5\cdot \left({{\sin }^2 x\ }-2{\sin x\ }{\cos x\ }+{{\cos }^2 x\ }\right)-16\ ({\sin x\ }-{\cos x\ })+3=0$

К первой скобке применим одну из формул сокращенного умножения — квадрат разницы:

$5\cdot {\left({\sin x\ }-{\cos x\ }\right)}^2-16\ ({\sin x\ }-{\cos x\ })+3=0$

Обратим внимание на выражение в скобках. Это выражение заменим на произвольную переменную t:

${\sin x\ }-{\cos x\ }=t$

Поскольку обе функции синус и косинус определены на промежутке от -1 до 1, то и переменная t не может выходить за пределы этого промежутка.
Запишем уравнение с выполненной заменой:

$5t^2-16t+3=0$

Получили простое квадратное уравнение, которое решим с помощью дискриминанта:

$D={\left(-16\right)}^2-4\cdot 5\cdot 3=256-60=196$

Вычислим корни:

$t_1=\frac{16-\sqrt{196}}{2\cdot 5}=\frac{16-14}{10}=0,2$

$t_2=\frac{16+\sqrt{196}}{2\cdot 5}=\frac{16+14}{10}=3$

Обратим внимание на второй корень — он не подходит, так как полученное значение 3 не входит в промежуток, на котором может быть определена указанная переменная.
Вернемся от переменной t к тригонометрическому выражению и получаем:

${\sin x\ }-{\cos x\ }=0,2$