Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

((3^x)+9)/((3^x)-9) + ((3^x)-9)/((3^x)+9) ≥ 4*((3^(x+1))+144)/((9^x)-81) решите неравенство

DWQA QuestionsРубрика: Математика((3^x)+9)/((3^x)-9) + ((3^x)-9)/((3^x)+9) ≥ 4*((3^(x+1))+144)/((9^x)-81) решите неравенство
0 +1 -1
FlexyFlexy спросил 5 лет назад

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста!!!! Каждый раз при решении прихожу к новым вариантам, но ответ так и не смог найти(
((3^x)+9)/((3^x)-9) + ((3^x)-9)/((3^x)+9) ≥ 4*((3^(x+1))+144)/((9^x)-81) 
спасибо!

1 ответ
0 +1 -1
TeacherTeacher ответил 5 лет назад

Добрый вечер!
Будем пробовать решать.
((3^x)+9)/((3^x)-9) + ((3^x)-9)/((3^x)+9) ≥ 4*((3^(x+1))+144)/((9^x)-81) 
Приведем левую часть к общему знаменателю и получаем снизу сразу разность квадратов. Сразу же же сложим знаменатель по формуле разности квадратов: a^2-b^2 = (a-b)(a+b):
(((3^x)+9)^2 + (3^x)-9)^2))/((9^x)-81) ≥ 4*((3^(x+1))+144)/((9^x)-81);
Видим, что в дробях справа и слева от знака знаменатели идентичны. Значит, чтобы левая часть была больше либо равна правой, необходимо, чтобы числитель в левой части был больше или равен числителю в правой части:
((3^x)+9)^2 + (3^x)-9)^2)) ≥ 4*((3^(x+1))+144);
Раскрываем квадраты в левой части по формулам: (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 и (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
3^(2x)+18*3^(x)+81+3^(2x)-18*3^(x)+81 ≥ 4*((3^(x+1))+144);
Приводим подобные слагаемые слева и открываем скобки справа:
2*3^(2x)+162 ≥ 4*3^(x+1)+576;
Переносим все в левую часть и приводим подобные слагаемые:
2*3^(2x)+162-4*3^(x+1)-576 ≥ 0;
2*3^(2x)-12*3^(x)-414 ≥ 0;
Введем замену.
Пусть t=3^(x), t^2=3^(2x).
2t^2-12t-414 ≥ 0;
2t^2-12t-414 = 0
Решаем уравнение
D = 144+3312 = 3456
√D = 24√6
t1 = (12+24√6)/4 = 3+6√6 (около 17,7)
t2 = (12-24√6)/4 = 3-6√6 (около -11,7)
Далее применяем метод интервалов. Если нарисовать ось t, то t2 окажется левее t1.
 
Определяем знак для t < 3-6√6. Если взять t = -100, то очевидно, что 2t^2-12t-414>0.
Определяем знак для  3-6√6 < t < 3+6√6. Если взять t = 0, то очевидно, что 2t^2-12t-414<0.
Определяем знак для  t > 3+6√6. Если взять t = 100, то очевидно, что 2t^2-12t-414>0.
Значит, t ≥ 3+6√6 
             t ≤ 3-6√6 
 
Вернемся к замене.
3^x ≥ 3+6√6 
3^x ≤ 3-6√6 
 
x ≥ log3(3-6√6)
x ≤ log3(3+6√6)
Ответ: x є [log3(3-6√6); log3(3+6√6)]

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.