Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение примеров со степенями

Для преобразования выражений со степенями используют свойства степеней, показательные тождества и формулы сокращенного умножения.

Основные свойства степеней: Для любых n, m и положительных a и b верны равенства

  1. a^{0}=1
  2. a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m}
  3.  a^{n} : a^{m}=a^{n-m}
  4. \left( a^{n} \right)^{m} = a^{n \cdot m}
  5. \left( a \cdot b \right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}
  6. \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{a^{n}}{b^{n}}
  7. a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение выражения

    \[    625^{-2,25} \cdot 25^{-\frac{2}{3}} \cdot 125^{\frac{25}{9}} \]

Решение Основание каждого множителя можно представить в виде степени с основанием 5. Получим:

    \[    625^{-2,25} \cdot 25^{-\frac{2}{3}} \cdot 125^{\frac{25}{9}} = \left( 5^{4} \right)^{-2,25} \cdot \left( 5^{2} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left( 5^{3} \right)^{\frac{25}{9}} \]

По свойствам степеней \left( a^{n} \right)^{m} = a^{n \cdot m} и a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m} , тогда

    \[    625^{-2,25} \cdot 25^{-\frac{2}{3}} \cdot 125^{\frac{25}{9}} = \left( 5^{4} \right)^{-2,25} \cdot \left( 5^{2} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left( 5^{3} \right)^{\frac{25}{9}} = 5^{4 \cdot (-2,25)} \cdot 5^{-\frac{2}{3} \cdot 2} \cdot 5^{\frac{25}{9} \cdot 3} = \]

    \[     = 5^{-10} \cdot 5^{-\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{25}{3}} = 5^{-10-\frac{4}{3}+\frac{25}{3}} = 5^{-10+\frac{21}{3}} = 5^{-10+7} = 5^{-3}=\frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125} = 0,008 \]

Ответ 625^{-2,25} \cdot 25^{-\frac{2}{3}} \cdot 125^{\frac{25}{9}}= 0,008
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить

    \[    \left( \frac{3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}}}{15^{-1} \cdot 2^{\frac{2}{7}}} \right)^{-7} \]

Решение Преобразуем, степени в числителе по свойству a^{n} \cdot b^{n} = \left( a \cdot b \right)^{n} , а степени из знаменателя поднимем в числитель, при этом они изменят знак:

    \[    \left( \frac{3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}}}{15^{-1} \cdot 2^{\frac{2}{7}}} \right)^{-7} = \left( (3 \cdot 5)^{-\frac{5}{7}} \cdot 15^{1} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} = \left( 15^{-\frac{5}{7}} \cdot 15^{1} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} \]

Далее воспользуемся тем фактом, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются

    \[    \left( \frac{3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}}}{15^{-1} \cdot 2^{\frac{2}{7}}} \right)^{-7} = \left( 15^{-\frac{5}{7}} \cdot 15^{1} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} = \left( 15^{1-\frac{5}{7}} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} = \left( 15^{\frac{2}{7}} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7}  \]

Используя свойства степеней: \left( a \cdot b \right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} и \left( a^{n} \right)^{m} = a^{n \cdot m} , получим:

    \[    \left( \frac{3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}}}{15^{-1} \cdot 2^{\frac{2}{7}}} \right)^{-7} = \left( 15^{\frac{2}{7}} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} = \left( 15^{\frac{2}{7}} \right)^{-7} \cdot \left( 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} =  \]

    \[     = 15^{\frac{2}{7} \cdot (-7)} \cdot 2^{-\frac{2}{7} \cdot (-7)} =  15^{-2} \cdot 2^{2} = \frac{4}{225} \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Упростить пример со степенями

    \[     \left( a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) \]

Решение Первые два множителя преобразуем в разность квадратов:

    \[     \left( a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =  \]

    \[     = \left( \left( a^{\frac{1}{24}} \right)^{2} - \left( b^{\frac{1}{24}} \right) ^{2} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =  \]

    \[     = \left( a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =  \]

В последнем равенстве первые два множителя так же можно преобразуем в разность квадратов, получим:

    \[     \left( a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =  \]

    \[     = \left( a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =  \]

    \[     = \left( \left( a^{\frac{1}{12}} \right)^{2} - \left( b^{\frac{1}{12}} \right)^{2} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =  \]

    \[     = \left( a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =  \]

Последнее произведение является разностью кубов, преобразовав его, окончательно получим:

    \[     \left( a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =  \]

    \[     = \left( a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) = \left( a^{\frac{1}{6}} \right)^{3} - \left( b^{\frac{1}{6}} \right)^{3} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Сократить пример со степенями

    \[     \frac{m+4m^{\frac{5}{8}}}{m^{\frac{3}{8}}+4} \]

Решение Вынесем в числителе дроби за скобки m^{\frac{5}{8}}:

    \[     \frac{m+4m^{\frac{5}{8}}}{m^{\frac{3}{8}}+4} = \frac{m^{\frac{5}{8}} \left( m^{\frac{3}{8}}+4 \right)}{m^{\frac{3}{8}}+4} \]

и сократим числитель и знаменатель на два одинаковых выражения \left( m^{\frac{3}{8}}+4 \right) , получим:

    \[     \frac{m+4m^{\frac{5}{8}}}{m^{\frac{3}{8}}+4} = \frac{m^{\frac{5}{8}} \left( m^{\frac{3}{8}}+4 \right)}{m^{\frac{3}{8}}+4} = m^{\frac{5}{8}} \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Упростить выражения

    \[     \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} - \frac{2n}{m-n} + \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} \]

Решение Приведем дроби к общему знаменателю.

    \[     m-n = \left( m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \right) \left( m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} \right) \]

    \[     \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} - \frac{2n}{m-n} + \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} = \frac{m^{\frac{1}{2}} \left( m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} \right) - 2n + n^{\frac{1}{2}} \left( m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \right)}{m-n} =  \]

    \[     = \frac{m - m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} - 2n +n+ m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}}{m-n} = \frac{m-n}{m-n} = 1 \]

Ответ