Решение примеров со степенями

Для преобразования выражений со степенями используют свойства степеней, показательные тождества и формулы сокращенного умножения.

Основные свойства степеней: Для любых $n, m$ и положительных $a$ и $b$ верны равенства

$a^{0}=1$
$a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m}$
$a^{n} : a^{m}=a^{n-m}$
$\left( a^{n} \right)^{m} = a^{n \cdot m}$
$\left( a \cdot b \right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$
$\left( \frac{a}{b} \right) = \frac{a^{n}}{b^{n}}$
$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Найти значение выражения

$625^{-2,25} \cdot 25^{-\frac{2}{3}} \cdot 125^{\frac{25}{9}}$

Решение

Основание каждого множителя можно представить в виде степени с основанием 5. Получим:

$625^{-2,25} \cdot 25^{-\frac{2}{3}} \cdot 125^{\frac{25}{9}} = \left( 5^{4} \right)^{-2,25} \cdot \left( 5^{2} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left( 5^{3} \right)^{\frac{25}{9}}$

По свойствам степеней $\left( a^{n} \right)^{m} = a^{n \cdot m}$ и $a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m}$ , тогда

$625^{-2,25} \cdot 25^{-\frac{2}{3}} \cdot 125^{\frac{25}{9}} = \left( 5^{4} \right)^{-2,25} \cdot \left( 5^{2} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left( 5^{3} \right)^{\frac{25}{9}} = 5^{4 \cdot (-2,25)} \cdot 5^{-\frac{2}{3} \cdot 2} \cdot 5^{\frac{25}{9} \cdot 3} =$

$= 5^{-10} \cdot 5^{-\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{25}{3}} = 5^{-10-\frac{4}{3}+\frac{25}{3}} = 5^{-10+\frac{21}{3}} = 5^{-10+7} = 5^{-3}=\frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125} = 0,008$

Ответ

$625^{-2,25} \cdot 25^{-\frac{2}{3}} \cdot 125^{\frac{25}{9}}= 0,008$

ПРИМЕР 2

Задание

Вычислить

$\left( \frac{3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}}}{15^{-1} \cdot 2^{\frac{2}{7}}} \right)^{-7}$

Решение

Преобразуем, степени в числителе по свойству $a^{n} \cdot b^{n} = \left( a \cdot b \right)^{n}$ , а степени из знаменателя поднимем в числитель, при этом они изменят знак:

$\left( \frac{3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}}}{15^{-1} \cdot 2^{\frac{2}{7}}} \right)^{-7} = \left( (3 \cdot 5)^{-\frac{5}{7}} \cdot 15^{1} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} = \left( 15^{-\frac{5}{7}} \cdot 15^{1} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7}$

Далее воспользуемся тем фактом, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются

$\left( \frac{3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}}}{15^{-1} \cdot 2^{\frac{2}{7}}} \right)^{-7} = \left( 15^{-\frac{5}{7}} \cdot 15^{1} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} = \left( 15^{1-\frac{5}{7}} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} = \left( 15^{\frac{2}{7}} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7}$

Используя свойства степеней: $\left( a \cdot b \right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ и $\left( a^{n} \right)^{m} = a^{n \cdot m}$ , получим:

$\left( \frac{3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}}}{15^{-1} \cdot 2^{\frac{2}{7}}} \right)^{-7} = \left( 15^{\frac{2}{7}} \cdot 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} = \left( 15^{\frac{2}{7}} \right)^{-7} \cdot \left( 2^{-\frac{2}{7}} \right)^{-7} =$

$= 15^{\frac{2}{7} \cdot (-7)} \cdot 2^{-\frac{2}{7} \cdot (-7)} = 15^{-2} \cdot 2^{2} = \frac{4}{225}$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Упростить пример со степенями

$\left( a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right)$

Решение

Первые два множителя преобразуем в разность квадратов:

$= \left( \left( a^{\frac{1}{24}} \right)^{2} - \left( b^{\frac{1}{24}} \right) ^{2} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =$

$= \left( a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =$

В последнем равенстве первые два множителя так же можно преобразуем в разность квадратов, получим:

$= \left( \left( a^{\frac{1}{12}} \right)^{2} - \left( b^{\frac{1}{12}} \right)^{2} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =$

$= \left( a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) =$

Последнее произведение является разностью кубов, преобразовав его, окончательно получим:

$= \left( a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}} \right) \cdot \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} b ^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}\right) = \left( a^{\frac{1}{6}} \right)^{3} - \left( b^{\frac{1}{6}} \right)^{3} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Сократить пример со степенями

$\frac{m+4m^{\frac{5}{8}}}{m^{\frac{3}{8}}+4}$

Решение

Вынесем в числителе дроби за скобки $m^{\frac{5}{8}}:$

$\frac{m+4m^{\frac{5}{8}}}{m^{\frac{3}{8}}+4} = \frac{m^{\frac{5}{8}} \left( m^{\frac{3}{8}}+4 \right)}{m^{\frac{3}{8}}+4}$

и сократим числитель и знаменатель на два одинаковых выражения $\left( m^{\frac{3}{8}}+4 \right)$ , получим:

$\frac{m+4m^{\frac{5}{8}}}{m^{\frac{3}{8}}+4} = \frac{m^{\frac{5}{8}} \left( m^{\frac{3}{8}}+4 \right)}{m^{\frac{3}{8}}+4} = m^{\frac{5}{8}}$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Упростить выражения

$\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} - \frac{2n}{m-n} + \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}$

Решение

Приведем дроби к общему знаменателю.

$m-n = \left( m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \right) \left( m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} \right)$

$\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} - \frac{2n}{m-n} + \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} = \frac{m^{\frac{1}{2}} \left( m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} \right) - 2n + n^{\frac{1}{2}} \left( m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \right)}{m-n} =$

$= \frac{m - m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} - 2n +n+ m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}}{m-n} = \frac{m-n}{m-n} = 1$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Решение примеров со степенями

Примеры