Решение примеров с корнями

При преобразовании выражений с корнями используют определение и свойство арифметического корня $n$ -ой степени, свойства степени с рациональным показателем, а так же правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из под знака корня. При этом разделяют случаи четной и нечетной степени корня.

ПРИМЕР 1

Задание	Найти значение выражения $\sqrt{15^{2}} + \sqrt{(-13)^{2}}+\left( \sqrt{3} \right)^{2}$
Решение	По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{a^{2}}=\|a\|$ и $\left( \sqrt{a} \right)^{2}=a \text{ },\text{ } a \geq 0$ , тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt{15^{2}} + \sqrt{(-13)^{2}}+\left( \sqrt{3} \right)^{2} = \|15\|+\|-13\|+3=15+13+3=31$
Ответ	$\sqrt{15^{2}} + \sqrt{(-13)^{2}}+\left( \sqrt{3} \right)^{2}=31$

ПРИМЕР 2

Задание

Вычислить пример с корнем

$\sqrt{\left( -2-\sqrt{5} \right)^{2}}+\sqrt{\left( 2-\sqrt{5} \right)^{2}}$

Решение

По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{a^{2}}=|a|$ , имеем:

$\sqrt{\left( -2-\sqrt{5} \right)^{2}}+\sqrt{\left( 2-\sqrt{5} \right)^{2}} = |-2-\sqrt{5}|+|2-\sqrt{5}|$

Найдем значение модулей, используя определение, получим:

$\sqrt{\left( -2-\sqrt{5} \right)^{2}}+\sqrt{\left( 2-\sqrt{5} \right)^{2}} = |-2-\sqrt{5}|+|2-\sqrt{5}| = 2+\sqrt{5}+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}$

Ответ

$\sqrt{\left( -2-\sqrt{5} \right)^{2}}+\sqrt{\left( 2-\sqrt{5} \right)^{2}}=2\sqrt{5}$

ПРИМЕР 3

Задание	Упростить выражение с корнем $\sqrt[3]{\frac{a^{4} \cdot \sqrt[3]{b^{9}}}{a^{-2}}}$
Решение	Запишем показатели степеней рациональными числами и преобразуем их: $\sqrt[3]{\frac{a^{4} \cdot \sqrt[3]{b^{9}}}{a^{-2}}} = \left( a^{4-(-2)} \cdot b^{\frac{9}{3}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( a^{6} \cdot b^{3} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( a^{6} \right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left( b^{3} \right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{6}{3}} \cdot b^{\frac{3}{3}} = a^{2}b$
Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Вычислить

$\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Решение

Избавимся от иррациональности в первой дроби, для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное со знаменателем, то есть на $(3+\sqrt{5})$ , получим:

$\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{(3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{(3+\sqrt{5})^{2}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}-\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Полученную дробь преобразуем, используя формулы сокращенного умножения:

$\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{(3+\sqrt{5})^{2}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{3^{2}+2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^{2}}{3^{2}-(\sqrt{5})^{2}} -\frac{3 \sqrt{5}}{2} =$

$= \frac{9+6\sqrt{5}+5}{9-5} -\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} -\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Далее вычтем дроби, для этого приведем их сначала к общему знаменателю:

$\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} -\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{14+6\sqrt{5}-6\sqrt{5}}{4} = \frac{14}{4}=3,5$