Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение примеров с корнями

При преобразовании выражений с корнями используют определение и свойство арифметического корня n-ой степени, свойства степени с рациональным показателем, а так же правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из под знака корня. При этом разделяют случаи четной и нечетной степени корня.

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение выражения

    \[    \sqrt{15^{2}} + \sqrt{(-13)^{2}}+\left( \sqrt{3} \right)^{2} \]

Решение По свойству арифметического квадратного корня \sqrt{a^{2}}=|a| и \left( \sqrt{a} \right)^{2}=a \text{ },\text{ } a \geq 0 , тогда исходное выражение примет вид:

    \[    \sqrt{15^{2}} + \sqrt{(-13)^{2}}+\left( \sqrt{3} \right)^{2} = |15|+|-13|+3=15+13+3=31 \]

Ответ \sqrt{15^{2}} + \sqrt{(-13)^{2}}+\left( \sqrt{3} \right)^{2}=31
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить пример с корнем

    \[    \sqrt{\left( -2-\sqrt{5} \right)^{2}}+\sqrt{\left( 2-\sqrt{5} \right)^{2}} \]

Решение По свойству арифметического квадратного корня \sqrt{a^{2}}=|a| , имеем:

    \[    \sqrt{\left( -2-\sqrt{5} \right)^{2}}+\sqrt{\left( 2-\sqrt{5} \right)^{2}} = |-2-\sqrt{5}|+|2-\sqrt{5}| \]

Найдем значение модулей, используя определение, получим:

    \[    \sqrt{\left( -2-\sqrt{5} \right)^{2}}+\sqrt{\left( 2-\sqrt{5} \right)^{2}} = |-2-\sqrt{5}|+|2-\sqrt{5}| = 2+\sqrt{5}+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5} \]

Ответ \sqrt{\left( -2-\sqrt{5} \right)^{2}}+\sqrt{\left( 2-\sqrt{5} \right)^{2}}=2\sqrt{5}
ПРИМЕР 3
Задание Упростить выражение с корнем

    \[    \sqrt[3]{\frac{a^{4} \cdot \sqrt[3]{b^{9}}}{a^{-2}}} \]

Решение Запишем показатели степеней рациональными числами и преобразуем их:

    \[    \sqrt[3]{\frac{a^{4} \cdot \sqrt[3]{b^{9}}}{a^{-2}}} = \left( a^{4-(-2)} \cdot b^{\frac{9}{3}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( a^{6} \cdot b^{3} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( a^{6} \right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left( b^{3} \right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{6}{3}} \cdot b^{\frac{3}{3}} = a^{2}b \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Вычислить

    \[    \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} \]

Решение Избавимся от иррациональности в первой дроби, для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное со знаменателем, то есть на (3+\sqrt{5}) , получим:

    \[    \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{(3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{(3+\sqrt{5})^{2}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}-\frac{3 \sqrt{5}}{2}  \]

Полученную дробь преобразуем, используя формулы сокращенного умножения:

    \[    \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{(3+\sqrt{5})^{2}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{3^{2}+2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^{2}}{3^{2}-(\sqrt{5})^{2}} -\frac{3 \sqrt{5}}{2} =   \]

    \[    = \frac{9+6\sqrt{5}+5}{9-5} -\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} -\frac{3 \sqrt{5}}{2}   \]

Далее вычтем дроби, для этого приведем их сначала к общему знаменателю:

    \[    \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} -\frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{14+6\sqrt{5}-6\sqrt{5}}{4} = \frac{14}{4}=3,5 \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить

    \[    \sqrt{27+ 2 \sqrt{50}} \cdot (5-\sqrt{2}) \]

Решение Представим подкоренное выражение в виде:

    \[    \sqrt{27+ 2 \sqrt{50}} \cdot (5-\sqrt{2}) = \sqrt{25+ 2 \sqrt{2 \cdot 25}+2} \cdot (5-\sqrt{2}) = \]

    \[    = \sqrt{25+ 2 \cdot 5 \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}} \cdot (5-\sqrt{2}) \]

Таким образом, подкоренное выражение представляет собой квадрат суммы:

    \[    \sqrt{27+ 2 \sqrt{50}} \cdot (5-\sqrt{2}) = \sqrt{25+ 2 \cdot 5 \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}} \cdot (5-\sqrt{2}) = \]

    \[    = \sqrt{(5+\sqrt{2})^{2}} \cdot (5-\sqrt{2}) \]

По свойству арифметического квадратного корня \sqrt{a^{2}}=|a| , получим:

    \[    \sqrt{27+ 2 \sqrt{50}} \cdot (5-\sqrt{2}) = \sqrt{(5+\sqrt{2})^{2}} \cdot (5-\sqrt{2}) = |5+\sqrt{2}| \cdot (5-\sqrt{2}) = \]

    \[    = (5+\sqrt{2}) \cdot (5-\sqrt{2}) \]

Полученное выражение представляет собой разность квадратов, свернем его:

    \[    \sqrt{27+ 2 \sqrt{50}} \cdot (5-\sqrt{2}) = (5+\sqrt{2}) \cdot (5-\sqrt{2}) = 5^{2}-(\sqrt{2})^{2}=25-2=23 \]

Ответ