Примеры решения второй замечательный предел

Предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} =e \text{ }\text{ },\text{ }\text{ } e=2,7182818288459...$

называется вторым замечательным пределом. Он разрешает неопределенность вида $\left[ 1^{\infty} \right]$ и имеет следующие основные следствия

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{k}{x} \right)^{x} =e^{k} \text{ }\text{ },\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} =e \text{ }\text{ },\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}} =e$

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x} \right)^{x}$

Решение

Поделим почленно числитель на знаменатель:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 +\frac{2}{x} \right)^{x}$

Получаем неопределенность $\left[ 1^{\infty} \right]$ . Применяя первое следствие второго замечательного предела

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{k}{x} \right)^{x} =e^{k}$

получим:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 +\frac{2}{x} \right)^{x} = e^{2}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x}$

Решение

Представим числитель в виде суммы:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{(x+1)+1}{x+1} \right)^{x}$

затем поделим почленно числитель на знаменатель, получим:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{(x+1)+1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x}$

Получили неопределенность $\left[ 1^{\infty} \right]$ и она может быть разрешена с помощью второго замечательного предела. Сведем к нему полученное выражение, для этого его степень умножим и разделим на $(x+1):$

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{\frac{x(x+1)}{x+1}}$

По следствию из второго замечательного предела выражение

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x+1} = e$

выделим его, в рассматриваем пределе:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x+1} \right] ^{\frac{x}{x+1}} =$

$= \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{x}{x+1}} = e^{1} = e$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x}$

Решение

Имеем неопределенность $\left[ 1^{\infty} \right]$ значит, заданный предел может быть сведен ко второму замечательному пределу. Для этого умножим и разделим степень заданного выражения на $x$ , получим:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{\frac{x \cdot x}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} \right] ^{\frac{1}{x}}$

По следствию из второго замечательного предела

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} = e$

подставляя это значение в предел, будем иметь:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} \right] ^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{x}} = e^{0}=1$

Ответ

Приведем несколько примеров пределов, которые по формулировке похожи на второй замечательный предел, но таковыми не являются.

ПРИМЕР 4

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+3}{2x+1} \right)^{x-1}$

Решение

Найдем предел выражения в скобках

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+3}{2x+1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x \left( 1+\frac{3}{x} \right) }{x \left( 2+\frac{1}{x} \right)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{3}{x}}{2+\frac{1}{x}} = \frac{1+0}{2+0} = \frac{1}{2}$

Тогда заданный предел будет равен

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+3}{2x+1} \right)^{x-1} = \left(\frac{1}{2} \right)^{\infty} = 0$

так как $\frac{1}{2}$ есть величина меньшая единицы, в бесконечной степени она не является неопределенностью и её предел равен нулю.

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{5x-2}{2x+1} \right)^{2x-1}$

Решение

Вычислим предел выражения в скобках

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x-2}{2x+1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x \left( 5 - \frac{2}{x} \right)}{x \left( 2+\frac{1}{x} \right)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5 - \frac{2}{x}}{2+\frac{1}{x}} = \frac{5-0}{2+0}=\frac{5}{2}$

Тогда предел всего выражения равен:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{5x-2}{2x+1} \right)^{2x-1} = \left(\frac{5}{2} \right)^{\infty} = \infty$

так как $\frac{5}{2}>1$ , а число большее единицы в бесконечной степени стремится к бесконечности.

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения второй замечательный предел