Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения второй замечательный предел

Предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} =e \text{ }\text{ },\text{ }\text{ } e=2,7182818288459... \]

называется вторым замечательным пределом. Он разрешает неопределенность вида \left[ 1^{\infty} \right] и имеет следующие основные следствия

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{k}{x} \right)^{x} =e^{k} \text{ }\text{ },\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} =e \text{ }\text{ },\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}} =e \]

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x} \right)^{x} \]

Решение Поделим почленно числитель на знаменатель:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 +\frac{2}{x} \right)^{x} \]

Получаем неопределенность \left[ 1^{\infty} \right] . Применяя первое следствие второго замечательного предела

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{k}{x} \right)^{x} =e^{k} \]

получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 +\frac{2}{x} \right)^{x} = e^{2} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} \]

Решение Представим числитель в виде суммы:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{(x+1)+1}{x+1} \right)^{x} \]

затем поделим почленно числитель на знаменатель, получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{(x+1)+1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x} \]

Получили неопределенность \left[ 1^{\infty} \right] и она может быть разрешена с помощью второго замечательного предела. Сведем к нему полученное выражение, для этого его степень умножим и разделим на (x+1):

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{\frac{x(x+1)}{x+1}} \]

По следствию из второго замечательного предела выражение

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x+1} = e \]

выделим его, в рассматриваем пределе:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x+1} \right] ^{\frac{x}{x+1}} = \]

    \[    = \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{x}{x+1}} = e^{1} = e \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x} \]

Решение Имеем неопределенность \left[ 1^{\infty} \right] значит, заданный предел может быть сведен ко второму замечательному пределу. Для этого умножим и разделим степень заданного выражения на x , получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{\frac{x \cdot x}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} \right] ^{\frac{1}{x}} \]

По следствию из второго замечательного предела

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} = e \]

подставляя это значение в предел, будем иметь:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} \right] ^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{x}} = e^{0}=1 \]

Ответ

Приведем несколько примеров пределов, которые по формулировке похожи на второй замечательный предел, но таковыми не являются.

ПРИМЕР 4
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+3}{2x+1} \right)^{x-1} \]

Решение Найдем предел выражения в скобках

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+3}{2x+1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x \left( 1+\frac{3}{x} \right) }{x \left( 2+\frac{1}{x} \right)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{3}{x}}{2+\frac{1}{x}} = \frac{1+0}{2+0} = \frac{1}{2} \]

Тогда заданный предел будет равен

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+3}{2x+1} \right)^{x-1} = \left(\frac{1}{2} \right)^{\infty} = 0 \]

так как \frac{1}{2} есть величина меньшая единицы, в бесконечной степени она не является неопределенностью и её предел равен нулю.

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{5x-2}{2x+1} \right)^{2x-1} \]

Решение Вычислим предел выражения в скобках

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x-2}{2x+1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x \left( 5 - \frac{2}{x} \right)}{x \left( 2+\frac{1}{x} \right)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5 - \frac{2}{x}}{2+\frac{1}{x}} = \frac{5-0}{2+0}=\frac{5}{2}  \]

Тогда предел всего выражения равен:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{5x-2}{2x+1} \right)^{2x-1} = \left(\frac{5}{2} \right)^{\infty} = \infty \]

так как \frac{5}{2}>1 , а число большее единицы в бесконечной степени стремится к бесконечности.

Ответ