Примеры решения уравнений

Теория по уравнениям

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнением называется равенство двух алгебраических выражений, в состав которых входят переменные.

Значение переменных, которое обращает уравнение в истинное равенство, называются решениями или корнями уравнения. Уравнение может иметь одно решение, несколько решений, бесконечное множество решений или не иметь решений вовсе. Уравнения называют равносильными, если любое решение первого являются решением и второго и наоборот.

Основные свойства уравнений:

В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Решить уравнение

$\frac{2}{4-x^{2}}-\frac{1}{2x-4}-\frac{7}{2x^{2}+4}=0$

Решение

ОДЗ: $2x(x-2)(x+2) \neq 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \neq 0 \text{ },\text{ } x \neq 2 \text{ },\text{ } x \neq -2$

Разложим на множители знаменатели всех дробей:

$\frac{-2}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{2(x-2)}-\frac{7}{2x(x+2)}=0$

Общий знаменатель этих дробей $2x(x-2)(x+2)$ . Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{-2 \cdot 2x - x (x+2) - 7 \cdot (x-2)}{2x(x-2)(x+2)}=0$

$\frac{-4x-x^{2}-2x-7x+14}{2x(x-2)(x+2)}=0$

$\frac{-x^{2}-13x+14}{2x(x-2)(x+2)}=0$

Далее числитель приравняем к нулю

$-x^{2}-13x+14=0$

Решим полученное квадратное уравнение, для этого вычислим дискриминант

$D=(-13)^{2}-4 \cdot (-1) \cdot 14 \text{ } =169+56=225$

корни квадратного уравнения

$x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot (-1)} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1,2} = \frac{13 \pm 15}{-2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1} = -14 \text{ },\text{ } x_{2}=1$

Оба корня входят в область допустимых значений.

Ответ

$x_{1} = -14 \text{ },\text{ } x_{2}=1$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить уравнение $(x^{2}+3x+1)(x^{2}+3x+3)+1=0$

Решение

Введем замену $x^{2}+3x+1=t$ , тогда уравнение примет вид

$t \cdot (t+2)+1=0$

$t^{2}+2t+1=0$

Левая часть последнего выражения является квадратом суммы

$(t+1)^{2}=0$

$t_{1,2}=-1$

Делаем обратную замену:

$x^{2}+3x+1=-1$

$x^{2}+3x+2=0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета. Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ – корни этого уравнения, тогда $x_{1}+x_{2}=-3$ , а $x_{1} \cdot x_{2}=2 \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=-1$ и $x_{2}=-2$ .

Ответ

$x_{1}=-1 \text{ },\text{ } x_{2}=-2$

ПРИМЕР 3

Задание

Решить уравнение $\sqrt{2x-4}-\sqrt{x+5}=1$

Решение

Один из корней перенесем вправо

$\sqrt{2x-4}=1+\sqrt{x+5}$

и так как теперь обе части полученного уравнения неотрицательны, возведем обе части равенства в квадрат:

$\left( \sqrt{2x-4} \right) ^{2}=\left( 1+\sqrt{x+5} \right)^{2}$

$2x-4=1+2\sqrt{x+5}+x+5$

$2x-4-x-5-1=2\sqrt{x+5}$

$x-10=2\sqrt{x+5}$

Полученное уравнение равносильно исходному. Для его решения рассмотрим систему

$\begin{cases} \left( x-10 \right) ^{2}=\left( 2\sqrt{x+5} \right)^{2} \\ x-10 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^{2}-20x+100=4(x+5) \\ x \geq 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^{2}-24x+80=0 \\ x \geq 10 \end{cases}$

Найдем корни полученного квадратного уравнения по теореме Виета. Положим, что $x_{1}$ и $x_{2}$ – корни этого уравнения, тогда $x_{1}+x_{2}=24$ , а $x_{1} \cdot x_{2}=80 \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=20$ и $x_{2}=4$ . Согласно неравенству системы $x \geq 10$ , поэтому корень $x_{2}=4$ не подходит.

Ответ

$x=20$

ПРИМЕР 4

Задание

Решить уравнение $4^{x}-10 \cdot 2^{x-1}-24=0$

Решение

Преобразуем данное уравнение, используя свойства степеней:

$\left( 2^{2} \right)^{x}-10 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-1}-24=0$

$\left( 2^{x} \right)^{2}- \frac{10 \cdot 2^{x}}{2}-24=0$

$\left( 2^{x} \right)^{2}- 5 \cdot 2^{x}-24=0$

Сделаем замену $2^{x}=t >0$ , получим:

$t^2-5t-24=0$

Решим полученное квадратное уравнение, для этого вычислим его дискриминант

$D=(-5)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-24)=25+96=121$

найдем корни

$t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} \text{ } \Rightarrow \text{ } t_{1,2} = \frac{5 \pm 11}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } t_{1} =-3 \text{ },\text{ } t_{2}=8$

Сделаем обратную замену. При $t=-3$ , получим $2^{x}=-3$ , это уравнение корней не имеет; при $t=8$ получим $2^{x}=8$ . Представим 8 в виде степени двойки: $2^{x}=2^{3} \text{ } \Rightarrow \text{ } x=3$ .