Примеры решения уравнений с модулем

Теория по уравнениям с модулем

Модулем (абсолютной величиной) числа называется расстояние от начала координат до этой точки. Если число неотрицательное, то модуль его равен самому числу, если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу, то есть

$|x|= \begin{cases} x, \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } x \geq 0 \\ -x, \text{ }\text{ }\text{ }x < 0 \end{cases}$

Уравнениями с модулем называются уравнения, которые содержат переменную под знаком модуля (абсолютной величины). Простейшее уравнение с модулем $|f(x)|=a$ равносильно совокупности

$\begin{bmatrix} f(x)=a \\ f(x)=-a$

если $a>0$ , если же $a<0$ , то уравнение решений не имеет.

Для решения уравнений с модулем чаще всего используют такие методы:

раскрытие модуля по определению;
возведение обеих частей уравнения в квадрат;
метод интервалов.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание	Решить уравнение $\|2x-3\|=1$
Решение	По определению, так как $1>0$ , то это уравнение равносильно совокупности $\left[ \begin{gathered} 2x-3=1 \hfill \\ 2x-3=-1 \end{gathered} \right \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 2x=4 \\ 2x=2 \end{gathered} \right \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x_{1}=2 \\ x_{2}=1 \end{gathered} \right$
Ответ	$x_{1}=2 \text{ },\text{ } x_{2}=1$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить уравнение $|2x-5|=x-1$

Решение

Возведем обе части уравнения в квадрат, при этом правая часть должна быть положительной. Это равносильно системе

$\begin{cases} (2x-5)^{2}=(x-1)^{2} \\ x-1>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x^{2}-20x+25=x^{2}-2x+1 \\ x>1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x^{2}-18x+24=0\\ x>1 \end{cases}$

Решим отдельно полученное квадратное уравнение $3x^{2}-18x+24=0$ . Для начала сократим его на 3, получим:

$x^{2}-6x+8=0$

Далее найдем его дискриминант:

$D=(-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36-32=4$

$D>0$ , следовательно, уравнение имеет два различных корня, найдем их по формуле

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1,2} = \frac{6 \pm 2}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=4 \text{ },\text{ } x_{2}=2$

Так как оба корня удовлетворяют неравенству системы, то есть больше 1, то исходное уравнение $|2x-5|=x-1$ имеет два решения: $x_{1}=4$ и $x_{2}=2$ .

Ответ

$x_{1}=4 \text{ },\text{ } x_{2}=2$

ПРИМЕР 3

Задание

Решить уравнение $|3x-1|=|x+5|$

Решение

Для решения этого уравнения больше всего подходит метод возведения в квадрат. Возведем в квадрат левую и правую часть исходного равенства, получим

$(3x-1)^{2} = (x+5)^{2}$

$9x^{2}-6x+1=x^{2}+10x+25$

$8x^{2}-16x-24=0$

Сократим последнее уравнение на 8:

$x^{2}-2x-3=0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета. Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ – корни этого уравнения, тогда $x_{1}+x_{2}=2$ , а $x_{1} \cdot x_{2} = -3 \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=3$ и $x_{2}=-1$ .

Ответ

$x_{1}=3 \text{ },\text{ } x_{2}=-1$

ПРИМЕР 4

Задание

Решить уравнение $x^{2}-4|x|-5=0$

Решение

Введем замену $|x|=t>0$ , тогда исходное уравнение примет вид:

$t^{2}-4t-5=0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета. Пусть $t_{1}$ и $t_{2}$ – корни этого уравнения, тогда $t_{1}+t_{2}=4$ , а $t_{1} \cdot t_{2} = -5 \text{ } \Rightarrow \text{ } t_{1}=5$ и $t_{2}=-1$ . Делаем обратную замену. При $t=5$ , получаем уравнение $|x|=5$ , которое равносильно совокупности

$\left[ \begin{gathered} x_{1}=5 \hfill \\ x_{2}=-5 \end{gathered} \right$

При $t=-1$ , получаем уравнение $|x|=-1$ , которое не имеет решений.

Ответ

$x_{1}=5 \text{ },\text{ } x_{2}=-5$

ПРИМЕР 5

Задание

Решить уравнение $|x+1|+|x-5|=20$

Решение

Будем решать это уравнение методом интервалов. Найдем значения $x$ , которые обнуляют модули:

$x+1=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x=-1 \text{ };\text{ } x-5=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x=5$

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1] \text{ };\text{ } (-1, 5] \text{ };\text{ } (5, +\infty)$ . Решим уравнение на каждом из этих промежутков.