Примеры решения с помощью замечательных пределов

Теория по замечательным пределам

Первый замечательный предел раскрывает неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ и имеет вид:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Следствия из первого замечательного предела:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{x} = \alpha \text{ }\text{ };\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = 1 \text{ }\text{ };\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x} = \frac{ \alpha }{\beta}$

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность $\left[ 1^{\infty} \right]$ и имеет вид:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} =e ,$

где $e=2,7182818288459...$ . Он имеет следующие основные следствия:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{k}{x} \right)^{x} =e^{k} \text{ }\text{ };\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} =e \text{ }\text{ };\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow 0} \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}} =e$

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5x}{\sin 3x}$

Решение

Подставляя в заданное выражение значение $x=0$ , получаем неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Тогда, по следствию из первого замечательного предела

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x} = \frac{ \alpha }{\beta}$

, получим:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5x}{\sin 3x} = \frac{5}{3}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти предел

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{tg }x}{2x}$

Решение

Подставляя в исходное выражение значение $x=0$ , получаем неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Преобразуем выражение, чтобы воспользоваться первым замечательным пределом. Для этого запишем $\text{tg }x$ как $\frac{\sin x}{\cos x}$ , получим:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{tg }x}{2x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{2x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{2x} \cdot \frac{1}{\cos x}$

По свойствам пределов константу можно вынести за знак предела, а предел произведения заменить произведением пределов (если последние существуют):

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{tg }x}{2x} =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{2x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x}$

Первый предел в последнем выражении есть первый замечательный предел, и он равен

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

, во второй подставим значение $x=0$ :

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{tg }x}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x}$

Решение

Имеем неопределенность $\left[ 1^{\infty} \right]$ значит, заданный предел может быть сведен ко второму замечательному пределу. Для этого умножим и разделим степень заданного выражения на $x$ , получим:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{\frac{x \cdot x}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} \right] ^{\frac{1}{x}}$

По следствию из второго замечательного предела

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} = e$

подставляя это значение в предел, будем иметь:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} \right] ^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{x}} = e^{0}=1$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Найти предел

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{\sin ^{2} x}$

Решение

При $x=0$ , данное выражение представляет собой неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Преобразуем знаменатель заданного выражения, используя основное тригонометрическое тождество:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{\sin ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{1-\cos ^{2} x}$

Далее распишем полученную в знаменателе разность квадратов

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{\sin ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{1-\cos ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}$

По свойству пределов, предел произведения заменим произведением пределов

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{\sin ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{1-\cos x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{1+\cos x}$

Первый множитель представляет собой следствие из первого замечательного предела

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = 1$

, а во второй предел подставим значение $x=0$ :

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{\sin ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{1-\cos x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{1+\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1+ \cos 0} = 1 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x^{2}-x}$

Решение

При значении $x=0$ , заданное выражение представляет собой неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Для её раскрытия разложим на множители знаменатель исходной дроби, вынося $x$ за скобки:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x^{2}-x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x(x-1)}$

Далее заменим предел произведения произведением пределов

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x^{2}-x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-1}$

По следствию из первого замечательного предела

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{x} = \alpha$

, первый множитель равен 3, а во второй предел подставим значение $x=0$ . Окончательно получим:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x^{2}-x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-1} = 3 \cdot \frac{1}{0-1} = -3$

Ответ

ПРИМЕР 6

Задание

Найти предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x}$

Решение

Представим числитель в виде суммы:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{(x+1)+1}{x+1} \right)^{x}$

затем поделим почленно числитель на знаменатель, получим:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{(x+1)+1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x}$

Получили неопределенность $\left[ 1^{\infty} \right]$ и она может быть разрешена с помощью второго замечательного предела. Сведем к нему полученное выражение, для этого его степень умножим и разделим на $(x+1):$

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{\frac{x(x+1)}{x+1}}$

По следствию из второго замечательного предела выражение

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x+1} = e$

выделим его, в рассматриваем пределе:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x+1} \right] ^{\frac{x}{x+1}} =$

$= \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{x}{x+1}} = e^{1} = e$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения с помощью замечательных пределов

Теория по замечательным пределам

Примеры