Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения с помощью замечательных пределов

Теория по замечательным пределам

Первый замечательный предел раскрывает неопределенность \left[ \frac{0}{0} \right] и имеет вид:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

Следствия из первого замечательного предела:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{x} = \alpha \text{ }\text{ };\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = 1 \text{ }\text{ };\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x} = \frac{ \alpha }{\beta} \]

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность \left[ 1^{\infty} \right] и имеет вид:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} =e , \]

где e=2,7182818288459... . Он имеет следующие основные следствия:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{k}{x} \right)^{x} =e^{k} \text{ }\text{ };\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} =e \text{ }\text{ };\text{ }\text{ } \lim_{x \rightarrow 0} \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}} =e \]

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5x}{\sin 3x} \]

Решение Подставляя в заданное выражение значение x=0 , получаем неопределенность \left[ \frac{0}{0} \right] . Тогда, по следствию из первого замечательного предела

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x} = \frac{ \alpha }{\beta} \]

, получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 5x}{\sin 3x} = \frac{5}{3} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти предел

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{tg }x}{2x} \]

Решение Подставляя в исходное выражение значение x=0 , получаем неопределенность \left[ \frac{0}{0} \right] . Преобразуем выражение, чтобы воспользоваться первым замечательным пределом. Для этого запишем \text{tg }x как \frac{\sin x}{\cos x} , получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{tg }x}{2x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{2x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{2x} \cdot \frac{1}{\cos x} \]

По свойствам пределов константу можно вынести за знак предела, а предел произведения заменить произведением пределов (если последние существуют):

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{tg }x}{2x} =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{2x} \cdot \frac{1}{\cos x} =  \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x} \]

Первый предел в последнем выражении есть первый замечательный предел, и он равен

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

, во второй подставим значение x=0 :

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{tg }x}{2x} =  \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2} \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x} \]

Решение Имеем неопределенность \left[ 1^{\infty} \right] значит, заданный предел может быть сведен ко второму замечательному пределу. Для этого умножим и разделим степень заданного выражения на x , получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{\frac{x \cdot x}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} \right] ^{\frac{1}{x}} \]

По следствию из второго замечательного предела

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} = e \]

подставляя это значение в предел, будем иметь:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x^{2}} \right)^{x^{2}} \right] ^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{x}} = e^{0}=1 \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Найти предел

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{\sin ^{2} x} \]

Решение При x=0 , данное выражение представляет собой неопределенность \left[ \frac{0}{0} \right] . Преобразуем знаменатель заданного выражения, используя основное тригонометрическое тождество:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{\sin ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{1-\cos ^{2} x} \]

Далее распишем полученную в знаменателе разность квадратов

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{\sin ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{1-\cos ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)} \]

По свойству пределов, предел произведения заменим произведением пределов

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{\sin ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{1-\cos x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{1+\cos x} \]

Первый множитель представляет собой следствие из первого замечательного предела

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = 1 \]

, а во второй предел подставим значение x=0 :

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{\sin ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{1-\cos x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{1+\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1+ \cos 0} = 1 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x^{2}-x} \]

Решение При значении x=0 , заданное выражение представляет собой неопределенность \left[ \frac{0}{0} \right] . Для её раскрытия разложим на множители знаменатель исходной дроби, вынося x за скобки:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x^{2}-x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x(x-1)} \]

Далее заменим предел произведения произведением пределов

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x^{2}-x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-1} \]

По следствию из первого замечательного предела

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha x}{x} = \alpha \]

, первый множитель равен 3, а во второй предел подставим значение x=0 . Окончательно получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x^{2}-x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x-1} = 3 \cdot \frac{1}{0-1} = -3 \]

Ответ
ПРИМЕР 6
Задание Найти предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} \]

Решение Представим числитель в виде суммы:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{(x+1)+1}{x+1} \right)^{x} \]

затем поделим почленно числитель на знаменатель, получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{(x+1)+1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x} \]

Получили неопределенность \left[ 1^{\infty} \right] и она может быть разрешена с помощью второго замечательного предела. Сведем к нему полученное выражение, для этого его степень умножим и разделим на (x+1):

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{\frac{x(x+1)}{x+1}} \]

По следствию из второго замечательного предела выражение

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x+1} = e \]

выделим его, в рассматриваем пределе:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \left[ \left(1+ \frac{1}{x+1} \right)^{x+1} \right] ^{\frac{x}{x+1}} = \]

    \[    = \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{x}{x+1}} = e^{1} = e \]

Ответ