Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения пределов

То, что предел функции f(x) при x стремящемся к a равен A, записывается следующим образом:

    \[    \lim_{x \rightarrow a} f(x) = A \]

При этом значение, к которому стремится переменная x, может быть не только числом, но и бесконечностью (\infty), в некоторых случаях + \infty или - \infty, или вовсе предел может не существовать.

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить пределы функции f(x)=\frac{1}{x} при:

x \rightarrow 2 \text{ }; \text{ } x \rightarrow 0 \text{ };\text{ } x \rightarrow \infty

Решение Первый предел. Для нахождения данного предела достаточно подставить вместо x число, к которому оно стремиться, то есть 2, получим

    \[    \lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \]

Второй предел. В данном случае подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, так как получим деление на 0. Можно рассматривать значения близкие к нулю, например, подставлять 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и т. д., при этом значение функции f(x)=\frac{1}{x} будет возрастать: 100; 1000; 10000; 100000 и т. д. Таким образом, можно сделать вывод о том, что при x \rightarrow 0 значение функции, стоящей под знаком предела, будет неограниченно возрастать, то есть стремиться к бесконечности. А значит:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty \]

Третий предел. Здесь, как и в предыдущем случае, нельзя подставить \infty в чистом виде. Необходимо рассмотреть случай неограниченного возрастания x. Подставляя 1000; 10000; 100000 и т.д., получим, что значение функции f(x)=\frac{1}{x} будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и т.д., стремясь к нулю. Таким образом,

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0 \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2-3x+5x^{2}-6x^{3}}{4+2x^{2}-3x^{3}} \]

Решение При рассмотрении данного предела имеем неопределенность \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]. Определим старшую степень числителя и знаменателя – это x^{3}. Вынесем в числителе и знаменателе x^{3} за скобки и сократим на него:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2-3x+5x^{2}-6x^{3}}{4+2x^{2}-3x^{3}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3} \left( \frac{2}{x^{3}} -\frac{3}{x^{2}} + \frac{5}{x} -6 \right)}{x^{3} \left( \frac{4}{x^{3}}+\frac{2}{x}-3 \right)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2^}{x^{3}} -\frac{3}{x^{2}} + \frac{5}{x} -6}{ \frac{4}{x^{3}}+\frac{2}{x}-3} = \]

    \[    = \frac{0-0+0-6}{0+0-3} = \frac{-6}{-3}=2 \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+4x-1}{5x^{4}-3x} \]

Решение Находим старшие степени, в числителе это x^{3}, а в знаменателе – x^{4}. Вынесем в числителе и знаменателе старшую из них, в данном случае – x^{4}. Получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+4x-1}{5x^{4}-3x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4} \left( \frac{1}{x} +\frac{4}{x^{3}}-\frac{1}{x^{4}} \right)}{x^{4} \left( 5-\frac{3}{x^{3}} \right)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x} +\frac{4}{x^{3}}-\frac{1}{x^{4}} }{ 5-\frac{3}{x^{3}} } =  \]

    \[    =\frac{0+0-0}{5-0} = \frac{0}{5}=0 \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+2x-3}{x-1} \]

Решение Подставляя в предел значение 1 вместо x, получаем неопределенность \left[ \frac{0}{0} \right]. Для её раскрытия разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения x^{2}+2x-3:

    \[    D=2^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-3)=4+12=16 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=\sqrt{16}=4 \]

    \[    x_{1, 2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1} = -3 \text{ };\text{ }x_{2}=1  \]

Тогда числитель примет вид:

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+2x-3}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+3)}{x-1} \]

Сократим числитель и знаменатель на (x-1):

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+2x-3}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+3)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} (x+3) = 1+3=4 \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{e^{x}-e}{x-1} \]

Решение Подставляя в предел значение 1 вместо x, получаем неопределенность \left[ \frac{0}{0} \right]. Вычислим этот предел, применяя правило Лопиталя. Значение числителя и знаменателя заменим на их производные:

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{e^{x}-e}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(e^{x}-e)'}{(x-1)'} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{e^{x}}{1} = \lim_{x \rightarrow 1} e^{x} \]

Полученный предел найдем, подставляя значение x=1. Тогда окончательно предел будет равен:

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{e^{x}-e}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} e^{x} = e^{1}=e \]

Ответ