Примеры решения пределов с корнями

Пределы с корнями могут подпадать под случай отношения двух многочленов, когда $x \rightarrow \infty$ и тогда сравниваются старшие степени числителя и знаменателя. Если же при вычислении предела с корнями получается неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ , то в этом случае, чаще всего, избавляются от иррациональности, умножая числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению, содержащему иррациональность.

ПРИМЕР 1

Задание	Вычислить предел $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{5x-1}+4}{3x+1}$
Решение	Подставим значение $x=2$ в выражение, предел которого необходимо найти, получим: $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{5x-1}+4}{3x+1} = \frac{\sqrt{5 \cdot 2-1}+4}{3 \cdot 2+1} = \frac{\sqrt{10-1}+4}{6+1} = \frac{3+4}{7}=1$
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Вычислить предел с корнем $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3x+1}{\sqrt{x+4}}$
Решение	Так как $x \rightarrow \infty$ , имеем неопределенность $\left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$ . Определим старшие степени числителя и знаменателя. Старшая степень числителя $x^{2}$ , а знаменателя – $\sqrt{x}$ . Среди этих двух степеней старшая $x^{2}$ , вынесем её за скобки и сократим на неё полученную дробь: $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3x+1}{\sqrt{x+4}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} \cdot \left( \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2} \sqrt{\frac{x}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} -\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}}} = \left[ \frac{1}{0} \right] = \infty$
Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{x}-9x^{2}}{3x - \sqrt[4]{9x^{8}+1}}$

Решение

Старшая степень числителя совпадает со старшей степенью знаменателя и равна $x^{2}$ . Вынесем $x^{2}$ за скобку в числителе и знаменателе и сократим на него:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{x}-9x^{2}}{3x - \sqrt[4]{9x^{8}+1}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} \cdot \left( \frac{\sqrt[3]{x}}{x^{2}} -9 \right) }{x^{2} \cdot \left( \frac{3}{x} -\sqrt[4]{9+\frac{1}{x^{8}}} \right) } = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}-9}{\frac{3}{x} -\sqrt[4]{9+\frac{1}{x^{8}}}} =$

$= \frac{0-9}{0-\sqrt[4]{9+0}} = \frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Вычислить предел с корнем

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1}$

Решение

Подставим значение $x=1$ :

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} = \frac{\sqrt{3+1}-2}{1-1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$

Получили неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Для её раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное с числителем, то есть на $\sqrt{3+x}+2$ :

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{3+x}-2)(\sqrt{3+x}+2)}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)}$

Свернем числитель, используя формулы сокращенного умножения, получим разность квадратов:

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{3+x}-2)(\sqrt{3+x}+2)}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( \sqrt{3+x} \right)^{2}-2^{2}}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)} =$

$= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{3+x-4}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)}$

Сократим полученную дробь на $(x-1)$ :

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{3+x}+2}$

Далее подставляя значение $x=1$ , получим:

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{3+x}+2} = \frac{1}{\sqrt{3+1}+2} = \frac{1}{4}$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x}$

Решение

Если подставить значение $x=0$ :

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} = \frac{\sqrt{1-2 \cdot 0-0^{2}}-(1+0)}{0}=\frac{0}{0}$

то получим неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Для того чтобы разрешить её, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное к числителю, получим

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \left( \sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)\right) \left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)}$

Выражение, получившееся в числителе, есть разность квадратов, свернем его:

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \left( \sqrt{1-2x-x^{2}} \right)^{2} - (1+x^{2})}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)}$

Упростим полученное выражение:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \left( \sqrt{1-2x-x^{2}} \right)^{2} - (1+x^{2})}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} =$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-2x-x^{2}-1-2x-x^{2}}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-4x-2x^{2}}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} =$

$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(-4-2x)}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-4-2x}{\sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)} =$

В последнее выражение подставим значение $x=0$ . Тогда предел будет равен:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-4-2 \cdot 0}{\sqrt{1-2 \cdot 0-0^{2}}+(1+0)} = \frac{-4}{1+1}=-2$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения пределов с корнями