Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения пределов с корнями

Пределы с корнями могут подпадать под случай отношения двух многочленов, когда x \rightarrow \infty и тогда сравниваются старшие степени числителя и знаменателя. Если же при вычислении предела с корнями получается неопределенность \left[ \frac{0}{0} \right] , то в этом случае, чаще всего, избавляются от иррациональности, умножая числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению, содержащему иррациональность.

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{5x-1}+4}{3x+1} \]

Решение Подставим значение x=2 в выражение, предел которого необходимо найти, получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{5x-1}+4}{3x+1} = \frac{\sqrt{5 \cdot 2-1}+4}{3 \cdot 2+1} = \frac{\sqrt{10-1}+4}{6+1} = \frac{3+4}{7}=1 \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить предел с корнем

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3x+1}{\sqrt{x+4}} \]

Решение Так как x \rightarrow \infty , имеем неопределенность \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] . Определим старшие степени числителя и знаменателя. Старшая степень числителя x^{2} , а знаменателя – \sqrt{x} . Среди этих двух степеней старшая x^{2} , вынесем её за скобки и сократим на неё полученную дробь:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3x+1}{\sqrt{x+4}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} \cdot \left( \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2} \sqrt{\frac{x}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} -\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}}} = \left[ \frac{1}{0} \right] = \infty \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{x}-9x^{2}}{3x - \sqrt[4]{9x^{8}+1}} \]

Решение Старшая степень числителя совпадает со старшей степенью знаменателя и равна x^{2} . Вынесем x^{2} за скобку в числителе и знаменателе и сократим на него:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{x}-9x^{2}}{3x - \sqrt[4]{9x^{8}+1}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} \cdot \left( \frac{\sqrt[3]{x}}{x^{2}} -9 \right) }{x^{2} \cdot \left( \frac{3}{x} -\sqrt[4]{9+\frac{1}{x^{8}}} \right) } = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}-9}{\frac{3}{x} -\sqrt[4]{9+\frac{1}{x^{8}}}} =  \]

    \[    = \frac{0-9}{0-\sqrt[4]{9+0}} = \frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3} \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Вычислить предел с корнем

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} \]

Решение Подставим значение x=1 :

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} = \frac{\sqrt{3+1}-2}{1-1} = \left[ \frac{0}{0} \right] \]

Получили неопределенность \left[ \frac{0}{0} \right] . Для её раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное с числителем, то есть на \sqrt{3+x}+2 :

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{3+x}-2)(\sqrt{3+x}+2)}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)} \]

Свернем числитель, используя формулы сокращенного умножения, получим разность квадратов:

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{3+x}-2)(\sqrt{3+x}+2)}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( \sqrt{3+x} \right)^{2}-2^{2}}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)} =  \]

    \[    = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{3+x-4}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)} \]

Сократим полученную дробь на (x-1) :

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{3+x}+2)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{3+x}+2}  \]

Далее подставляя значение x=1 , получим:

    \[    \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{3+x}+2} = \frac{1}{\sqrt{3+1}+2} = \frac{1}{4} \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить предел

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} \]

Решение Если подставить значение x=0 :

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} = \frac{\sqrt{1-2 \cdot 0-0^{2}}-(1+0)}{0}=\frac{0}{0} \]

то получим неопределенность \left[ \frac{0}{0} \right] . Для того чтобы разрешить её, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное к числителю, получим

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \left( \sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)\right) \left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} \]

Выражение, получившееся в числителе, есть разность квадратов, свернем его:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \left( \sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)\right) \left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} =  \]

    \[    = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \left( \sqrt{1-2x-x^{2}} \right)^{2} - (1+x^{2})}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} \]

Упростим полученное выражение:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \left( \sqrt{1-2x-x^{2}} \right)^{2} - (1+x^{2})}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} =  \]

    \[    = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-2x-x^{2}-1-2x-x^{2}}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-4x-2x^{2}}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} =  \]

    \[    = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(-4-2x)}{x\left( \sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)\right)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-4-2x}{\sqrt{1-2x-x^{2}}+(1+x)} =  \]

В последнее выражение подставим значение x=0 . Тогда предел будет равен:

    \[    \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-4-2 \cdot 0}{\sqrt{1-2 \cdot 0-0^{2}}+(1+0)} = \frac{-4}{1+1}=-2 \]

Ответ