Примеры решения логарифмов

Теория про логарифмы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Логарифмом $\log _{a}b$ положительного числа $b$ по основанию $a$ , где $a>0$ и $a \neq 1$ , называется показатель степени, в которую необходимо возвести основание логарифма $a$ , чтобы получить число $b$ .

То есть, если $\log _{a}b = x$ , где $b>0, a>0$ и $a \neq 1$ , то $a^{x}=b$ .

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается $\lg x$ :

$\log _{10} x = \lg x$

а логарифм по основанию $e = 2,718281828 ...$ называют натуральным и обозначают $\ln x$ :

$\log _{e} x = \ln x$

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Найти значение выражения $\log _{4} 32$

Решение

Представим основание и число, находящиеся под логарифмом, в виде степени 2, получим:

$\log _{4} 32 = \log _{2^{2}} 2^{5}$

Выносим степени из под знака логарифма, как коэффициент, согласно формулам $\log _{a} b^{k} = k \cdot \log _{a} b$ и $\log _{a^{k}} b = \frac{1}{k} \cdot \log _{a} b$ , будем иметь:

$\log _{4} 32 = \log _{2^{2}} 2^{5} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \log _{2} 2$

Учитывая, что $\log _{a} a = 1$ , окончательно получим:

$\log _{4} 32 = \frac{5}{2} \log _{2} 2 = \frac{5}{2}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти значение выражения $\log _{12} 3 + \log _{12} 4 + 1$

Решение

Сумма логарифмов равна логарифму произведения, поэтому данное выражение перепишется в виде:

$\log _{12} 3 + \log _{12} 4 + 1 = \log _{12} (3 \cdot 4) + 1 = \log _{12} 12 + 1$

Учитывая, что $\log _{a} a = 1$ , окончательно получим:

$\log _{12} 3 + \log _{12} 4 + 1 = \log _{12} 12 + 1 = 1 + 1 = 2$

Ответ

$\log _{12} 3 + \log _{12} 4 + 1 = 2$

ПРИМЕР 3

Задание

Вычислить значение выражения

$\frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18}$

Решение

Перейдем в каждом из слагаемых к логарифму по основанию 18, используя формулу перехода $\log _{a} b = \frac{1}{\log _{b} a}$ . Получим:

$\frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 12 + \log _{18} 27$

Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, последняя сумма перепишется в виде:

$\frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 12 + \log _{18} 27 = \log _{18} (12 \cdot 27) = \log _{18} 324$

Число 324 можно представить как степень 18, получим

$\frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 324 = \log _{18} 18^{2}$

далее выносим степень как коэффициент перед знаком логарифма:

$\frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 18^{2} = 2 \cdot \log _{18} 18$

Учитывая, что $\log _{a} a = 1$ , окончательно будем иметь:

$\frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = 2 \cdot \log _{18} 18 = 2 \cdot 1= 2$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Вычислить $8^{\log _{2} 3} + 9^{\log _{3} 4}$

Решение

Представим 8 и 9 как степень соответственно 2 и 3:

$8^{\log _{2} 3} + 9^{\log _{3} 4} = (2^{3})^{\log _{2} 3} + (3^{2})^{\log _{3} 4} = 2^{3 \cdot \log _{2} 3} + 3^{2 \cdot \log _{3} 4}$

Внесем коэффициенты перед логарифмами как степень подлогарифмического выражения:

$8^{\log _{2} 3} + 9^{\log _{3} 4} = 2^{3 \cdot \log _{2} 3} + 3^{2 \cdot \log _{3} 4} = 2^{\log _{2} 3^{3}} + 3^{\log _{3} 4^{2}} = 2^{\log _{2} 27} + 3^{\log _{3} 16}$

Использую основное логарифмическое тождество $a^{\log _{a} b} = b$ , окончательно получим:

$8^{\log _{2} 3} + 9^{\log _{3} 4} = 2^{\log _{2} 27} + 3^{\log _{3} 16} = 27+16=43$

Ответ

$8^{\log _{2} 3} + 9^{\log _{3} 4} =43$

ПРИМЕР 5

Задание

Вычислить $\log _{8} 7 \cdot \log _{7} 6 \cdot \log _{6} 4$

Решение

Перейдем во всех логарифмах к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию:

$\log _{a} b = \frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$

получим

$\log _{8} 7 \cdot \log _{7} 6 \cdot \log _{6} 4 = \frac{\log _{2} 7}{\log _{2} 8} \cdot \frac{\log _{2} 6}{\log _{2} 7} \cdot \frac{\log _{2} 4}{\log _{2} 6} = \frac{\log _{2} 4}{\log _{2} 8}$

Представим 4 и 8 в виде степени двойки и вынесем полученные степени за знак логарифма как коэффициент:

$\log _{8} 7 \cdot \log _{7} 6 \cdot \log _{6} 4 = \frac{\log _{2} 4}{\log _{2} 8} = \frac{\log _{2} 2^{2}}{\log _{2} 2^{3}} = \frac{2 \cdot \log _{2} 2}{3 \cdot \log _{2} 2} = \frac{2}{3}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения логарифмов

Теория про логарифмы

Примеры