Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения логарифмов

Теория про логарифмы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Логарифмом \log _{a}b положительного числа b по основанию a, где a>0 и a \neq 1, называется показатель степени, в которую необходимо возвести основание логарифма a, чтобы получить число b.

То есть, если \log _{a}b = x, где b>0, a>0 и a \neq 1, то a^{x}=b.

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается \lg x:

    \[    \log _{10} x = \lg x \]

а логарифм по основанию e = 2,718281828 ... называют натуральным и обозначают \ln x:

    \[    \log _{e} x = \ln x \]

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение выражения \log _{4} 32
Решение Представим основание и число, находящиеся под логарифмом, в виде степени 2, получим:

    \[    \log _{4} 32 = \log _{2^{2}} 2^{5} \]

Выносим степени из под знака логарифма, как коэффициент, согласно формулам \log _{a} b^{k} = k \cdot \log _{a} b и \log _{a^{k}} b = \frac{1}{k} \cdot \log _{a} b, будем иметь:

    \[    \log _{4} 32 = \log _{2^{2}} 2^{5} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \log _{2} 2  \]

Учитывая, что \log _{a} a = 1, окончательно получим:

    \[    \log _{4} 32 = \frac{5}{2} \log _{2} 2 =  \frac{5}{2} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти значение выражения \log _{12} 3 + \log _{12} 4 + 1
Решение Сумма логарифмов равна логарифму произведения, поэтому данное выражение перепишется в виде:

    \[    \log _{12} 3 + \log _{12} 4 + 1 = \log _{12} (3 \cdot 4) + 1 = \log _{12} 12 + 1 \]

Учитывая, что \log _{a} a = 1, окончательно получим:

    \[    \log _{12} 3 + \log _{12} 4 + 1 = \log _{12} 12 + 1 = 1 + 1 = 2 \]

Ответ \log _{12} 3 + \log _{12} 4 + 1 = 2
ПРИМЕР 3
Задание Вычислить значение выражения

    \[    \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} \]

Решение Перейдем в каждом из слагаемых к логарифму по основанию 18, используя формулу перехода \log _{a} b = \frac{1}{\log _{b} a} . Получим:

    \[    \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 12 + \log _{18} 27 \]

Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, последняя сумма перепишется в виде:

    \[    \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 12 + \log _{18} 27 = \log _{18} (12 \cdot 27) = \log _{18} 324 \]

Число 324 можно представить как степень 18, получим

    \[    \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 324 = \log _{18} 18^{2} \]

далее выносим степень как коэффициент перед знаком логарифма:

    \[    \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 18^{2} = 2 \cdot \log _{18} 18 \]

Учитывая, что \log _{a} a = 1, окончательно будем иметь:

    \[    \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = 2 \cdot \log _{18} 18 = 2 \cdot 1= 2 \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Вычислить 8^{\log _{2} 3} + 9^{\log _{3} 4}
Решение Представим 8 и 9 как степень соответственно 2 и 3:

    \[    8^{\log _{2} 3} + 9^{\log _{3} 4} = (2^{3})^{\log _{2} 3} + (3^{2})^{\log _{3} 4} = 2^{3 \cdot \log _{2} 3} + 3^{2 \cdot \log _{3} 4} \]

Внесем коэффициенты перед логарифмами как степень подлогарифмического выражения:

    \[    8^{\log _{2} 3} + 9^{\log _{3} 4} = 2^{3 \cdot \log _{2} 3} + 3^{2 \cdot \log _{3} 4} = 2^{\log _{2} 3^{3}} + 3^{\log _{3} 4^{2}} = 2^{\log _{2} 27} + 3^{\log _{3} 16} \]

Использую основное логарифмическое тождество a^{\log _{a} b} = b, окончательно получим:

    \[    8^{\log _{2} 3} + 9^{\log _{3} 4} = 2^{\log _{2} 27} + 3^{\log _{3} 16} = 27+16=43 \]

Ответ 8^{\log _{2} 3} + 9^{\log _{3} 4} =43
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить \log _{8} 7 \cdot \log _{7} 6 \cdot \log _{6} 4
Решение Перейдем во всех логарифмах к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию:

    \[    \log _{a} b = \frac{\log _{c} b}{\log _{c} a} \]

получим

    \[    \log _{8} 7 \cdot \log _{7} 6 \cdot \log _{6} 4 = \frac{\log _{2} 7}{\log _{2} 8} \cdot \frac{\log _{2} 6}{\log _{2} 7} \cdot \frac{\log _{2} 4}{\log _{2} 6} = \frac{\log _{2} 4}{\log _{2} 8} \]

Представим 4 и 8 в виде степени двойки и вынесем полученные степени за знак логарифма как коэффициент:

    \[    \log _{8} 7 \cdot \log _{7} 6 \cdot \log _{6} 4 = \frac{\log _{2} 4}{\log _{2} 8} = \frac{\log _{2} 2^{2}}{\log _{2} 2^{3}} = \frac{2 \cdot \log _{2} 2}{3 \cdot \log _{2} 2} = \frac{2}{3} \]

Ответ