Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения квадратных уравнений

Теория по квадратным уравнениям

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax^{2}+bx+c=0 , где a \neq 0 .

Возможны такие случаи:

1) \text{ } c=0 \text{ };\text{ } b \neq 0 , тогда имеем квадратное уравнение вида ax^{2}+bx=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x(ax+b)=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=0 и x_{2}=-\frac{b}{a} .

2) \text{ } c \neq 0 \text{ };\text{ } b = 0 , тогда имеем квадратное уравнение вида ax^{2}+c=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } ax^{2}=-c \text{ } \Rightarrow \text{ } x = -\frac{c}{a} \text{ } ; \text{ } x_{1,2} = \sqrt{-\frac{c}{a}} , если \frac{c}{a} < 0 ; если \frac{c}{a} > 0 – корней нет.

3) \text{ } c = 0 \text{ };\text{ } b = 0, тогда имеем квадратное уравнение вида ax^{2}=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1,2}=0 .

4) \text{ } c \neq 0 \text{ };\text{ } b \neq 0 , тогда имеем полное квадратное уравнение ax^{2}+bx+c=0 , которое решается или с помощью дискриминанта:

    \[    D = b^{2}-4ac \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Или по теореме Виета:

    \[    x_{1}+x_{2} = -b \text{ } ; \text{ } x_{1} \cdot x_{2} = c \]

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить следующие неполные квадратные уравнения

    \[    1) \text{ } 2x^{2}-4x=0 \text{ } ; \text{ } 2) \text{ } 2x^{2}-18=0 \text{ } ; \text{ } 3) \text{ } 3x^{2}+27=0 \text{ } ; \text{ } 4) \text{ } 5x^{2}=0 \]

Решение 1) В уравнении 2x^{2}-4x=0 вынесем 2x за скобки 2x(x-2)=0 . Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, следовательно:

    \[    2x = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=0 \]

или

    \[    x-2 = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{2}=2 \]

2) В уравнении 2x^{2}-18=0 перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при x^{2} :

    \[    2x^{2}=18 \text{ } \Rightarrow \text{ } x^{2}=9 \text{ } \Rightarrow \text{ } x = \pm \sqrt{9} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=3 \text{ },\text{ } x_{2}=-3 \]

3) В уравнении 3x^{2}+27=0 перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при x^{2} :

    \[    3x^{2}=27 \text{ } \Rightarrow \text{ } x^{2}=-9 \text{ }\text{ }\text{ }\text{ } - \oslash \]

У данного квадратного уравнения нет корней.

4) уравнение 5x^{2}=0 равносильно уравнению x^{2}=0 , которое имеет два совпадающих корня x_{1}=x_{2}=0 .

Ответ 1) \text{ } x_{1}=0 \text{ },\text{ } x_{2}=2

2) \text{ } x_{1}=3 \text{ },\text{ } x_{2}=-3

3)\text{ } Корней нет

4) \text{ } x_{1}=x_{2}=0

ПРИМЕР 2
Задание Решить квадратное уравнение 4x^{2}-4x+1=0
Решение Подсчитаем для заданного уравнения, чему равен дискриминант:

    \[    D=(-4)^{2}-4 \cdot 4 \cdot 1 = 16-16=0 \]

Так как D=0 , то уравнение 4x^{2}-4x+1=0 имеет два совпадающих корня:

    \[    x_{1}=x_{2}=\frac{-(-4)}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение x^{2}+2x+5=0
Решение Вычислим дискриминант для исходного уравнения, получим:

    \[    D=2^{2}-4 \cdot 5 \cdot 1 = 4-20=-16 \]

Так как D<0 , данное уравнение решений не имеет.

Ответ Корней нет.
ПРИМЕР 4
Задание Решить квадратное уравнение x^{2}+2x-48=0
Решение Дискриминант заданного уравнения, равен

    \[    D=2^{2}-4 \cdot (-48) \cdot 1 = 4+192=196 \]

Следовательно, уравнение x^{2}+2x-48=0 имеет два различных корня

    \[    x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} =\frac{-2 \pm 14}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=-8 \text{ },\text{ } x_{2}=6 \]

Ответ x_{1}=-8 \text{ },\text{ } x_{2}=6
ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение, используя теорему Виета: x^{2}-x-12=0
Решение Пусть x_{1} и x_{2} – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета

    \[    x_{1}+x_{2}=1 \text{ }\text{ };\text{ }\text{ } x_{1} \cdot x_{2}=-12 \]

Проанализируем полученные равенства. Произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки. Разложим –12 на множители, учитывая, что они должны быть числами разного знака. Возможны такие варианты: –12 и 1; 12 и –1; –6 и 2; 6 и –2; –4 и 3; 4 и –3. Так как сумма корней равна 1, то корнями будут числа x_{1}=4 и x_{2}=-3 .

Ответ x_{1}=4 \text{ },\text{ } x_{2}=-3