Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения факториалов

Теория по факториалам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Факториалом n! называется произведение n последовательных натуральных чисел, начиная с единицы, то есть

    \[    n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n \]

Факториал нуля равен единице:

    \[    0! = 1 \]

Так же используются факториалы по четным и по нечетным числам. Обозначаются они следующим образом: (2n)!! – двойной факториал по всем четным числам до 2n :

    \[    (2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2n-2) \cdot (2n) \]

(2n+1)!! – факториал по всем нечетным числам до (2n+1) :

    \[    (2n+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1) \cdot (2n+1) \]

Эти факториалы связаны равенством

2n!! \cdot (2n+1)!! = (2n+1)! или 2n!! \cdot (2n-1)!! = 2n!

Факториал широко используется в комбинаторике: перестановки, размещения, сочетания – все они выражаются через факториалы.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить
Решение Вынесем в числителе 6! за скобки:

    \[    \frac{8!-6!}{55} = \frac{6!(7 \cdot 8-1)}{55}=\frac{6!(56-1)}{55} = \frac{6! \cdot 55}{55} = 6!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720 \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить
Решение Вынесем в числителе 5! за скобки, получим

    \[    \frac{6!+7!}{5!} = \frac{5! (6 + 6 \cdot 7)}{5!} = 6+42=48 \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Вычислить
Решение Из равенства 2n!! \cdot (2n+1)!!=(2n+1)! , следует что 7!=6!! \cdot 7!! , тогда

    \[    \frac{7!-7!!}{47} = \frac{6!! \cdot 7!! - 7!!}{47} = \frac{7!! (6!!-1)}{47} = \frac{7!! (2 \cdot 4 \cdot 6-1)}{47} = \]

    \[    = \frac{7!! (48-1)}{47} = \frac{7!! \cdot 47}{47} = 7!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105 \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Вычислить C _{6}^{4}
Решение Количество сочетание C _{n}^{m} из n по m находится по формуле:

    \[    C _{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n-m)!} \]

Тогда искомое количество сочетаний равно

    \[    C _{6}^{4} = \frac{6!}{4! (6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6}{4! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 5 \cdot 3 = 15  \]

Ответ C _{6}^{4} = 15
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить C _{n}^{2}
Решение Согласно формуле для нахождения сочетаний

    \[    C _{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n-m)!} \]

    \[    C _{n}^{2} = \frac{n!}{2! (n-2)!} = \frac{(n-2)! \cdot (n-1) \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot (n-2)!} = \frac{(n-1) \cdot n}{2} = \frac{n^{2}-n}{2} \]

Ответ