Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения дифференциальных уравнений

Теория по дифференциальным уравнениям

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной является функция одной переменной, причем уравнение содержит не только неизвестную функцию, но и ее производные различных порядков. Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение: они широко используются в механике, астрономии, физике и других науках. Широкое распространение дифференциальных уравнений в естествознании объясняется тем, что многие явления и процессы, происходящие в природе, количественно описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

При решении дифференциальных уравнений главной задачей является определить тип дифференциального уравнения, а затем четко следовать алгоритму решения дифференциальных уравнений этого типа.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить дифференциальное уравнение первого порядка y dy - xy dx=0
Решение Данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные

    \[    y dy = xy dx \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{ydy}{y} = x dx \text{ } \Rightarrow \text{ } dy = x dx \]

Проинтегрируем левую и правую части последнего равенства

    \[    \int dy = \int x dx \text{ } \Rightarrow \text{ } y = \frac{x^{2}}{2} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить дифференциальное уравнение первого порядка y'-y=2x-3
Решение Запишем уравнение в виде

    \[    y'=y+2x-3 \]

Данное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z=y+2x . Считая z функцией от x, получим:

    \[   z'=y'+2 \cdot 1 - 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } y'=z'-2 \]

Подставляя полученные выражения в первое уравнение, приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:

    \[   z'-2=z-3 \text{ } \Rightarrow \text{ } z'=z-1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{dz}{dx}=z-1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{dz}{z-1} = dx \]

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

    \[   \int \frac{dz}{z-1} = \int dx \text{ } \Rightarrow \text{ } \ln |z-1| = x+C \]

Делая обратную замену, окончательно получим:

    \[   \ln |y+2x-1| = x+C \]

Ответ \ln |y+2x-1| = x+C
ПРИМЕР 3
Задание Решить дифференциальное уравнение 4x^{2}y'=4x^{2}+y^{2}
Решение Разделим обе части этого уравнения на x^{2}, получим:

    \[   4y'=4+\frac{y^{2}}{x^{2}} \]

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Введем замену

    \[   u=\frac{y}{x} \text{ } \Rightarrow \text{ } y = u \cdot x \text{ } \Rightarrow \text{ } y'=u'x+u \]

Подставляя замену в последнее уравнение, будем иметь:

    \[   4(u'x+u)=4+u^{2} \]

    \[   4x \cdot u'+4u=4+u^{2} \]

    \[   4x \cdot u'=u^{2}-4u+4 \]

    \[   4x \cdot \frac{du}{dx}=(u-2)^{2} \]

    \[   \frac{du}{(u-2)^{2}} = \frac{dx}{4x} \]

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

    \[   \int \frac{du}{(u-2)^{2}} = \int \frac{dx}{4x} \text{ } \Rightarrow \text{ } \int \frac{d(u-2)}{(u-2)^{2}} = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{x} \text{ } \Rightarrow \text{ } -\frac{1}{u-2} = \frac{1}{4} \ln |x| + \ln C \]

    \[   1 = (2-u) \ln \left( C \cdot \sqrt[4]{|x|} \right)  \]

Сделаем обратную замену u=\frac{y}{x} :

    \[   1 = \left( 2 - \frac{y}{x} \right) \ln \left( C \cdot \sqrt[4]{|x|} \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } x = (2x-y) \ln \left( C \cdot \sqrt[4]{|x|} \right)  \]

Выразим из последнего уравнения y :

    \[   x = 2x \ln \left( C \cdot \sqrt[4]{|x|} \right) -y \ln \left( C \cdot \sqrt[4]{|x|} \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } y \ln \left( C \cdot \sqrt[4]{|x|} \right) = 2x \ln \left( C \cdot \sqrt[4]{|x|} \right)  - x \]

    \[   y = \frac{2x \ln \left( C \cdot \sqrt[4]{|x|} \right)  - x}{\ln \left( C \cdot \sqrt[4]{|x|} \right)} \text{ } \Rightarrow \text{ } y = 2x - \frac{x}{\ln \left( C \cdot \sqrt[4]{|x|} \right)} \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Решить дифференциальное уравнение первого порядка

    \[   y'-\frac{y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \]

Решение Имеем линейное дифференциальное уравнение. Решение будем искать в виде произведения двух функций y=u(x) \cdot v(x) , тогда по правилу дифференцирования произведения: y'=u'v+uv' . Подставляя все в исходное уравнение, получим:

    \[   u'v+uv'-\frac{uv}{x} = \frac{1}{x^{2}} \text{ } \Rightarrow \text{ } u'v+u \left( v' - \frac{v}{x} \right) = \frac{1}{x^{2}}  \]

Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно 0. Тогда имеет место система

    \[ \begin{cases} v' - \frac{v}{x} =0\\  u'v = \frac{1}{x^{2}} \end{cases} \]

Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

    \[   \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \text{ } \Rightarrow \text{ } \int \frac{dv}{v} = \int \frac{dx}{x} \text{ } \Rightarrow \text{ } \ln |v| = \ln |x| + C \]

Положим C=0 , тогда v=x . Подставим найденное значение во второе уравнение и решим его:

    \[   u'x = \frac{1}{x^{2}} \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^{3}} \text{ } \Rightarrow \text{ } \int du = \int x^{-3} dx \text{ } \Rightarrow \text{ } u = \frac{x^{-2}}{-2} + C \text{ } \Rightarrow \text{ } u = -\frac{1}{2x^{2}} + C \]

Учитывая, что мы искали решение в виде y=u(x) \cdot v(x) , искомая функция

    \[   y = \left( -\frac{1}{2x^{2}} + C \right) \cdot x \text{ } \Rightarrow \text{ } y = -\frac{1}{2x} + Cx \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Решить задачу Коши y'+y \text{tg }x = \frac{1}{\cos x} при начальном условии y(0)=1 .
Решение Данное дифференциальное уравнение является линейным. Его решение будем искать в виде y=u(x) \cdot v(x) , тогда y'=u'v+uv' . Подставим все в исходное уравнение, получим:

    \[   u'v+uv'+uv \text{tg }x = \frac{1}{\cos x} \]

    \[   u'v+u \left(v'+ v \text{tg }x \right) = \frac{1}{\cos x} \]

Функцию v подбираем так, чтобы выражение в скобках равнялось 0. Имеет место система

    \[ \begin{cases} v'+ v \text{tg }x =0\\  u'v = \frac{1}{\cos x} \end{cases} \]

Первое дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:

    \[   v' =- v \text{tg }x \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{dv}{dx} = - v \text{tg }x \text{ } \Rightarrow \text{ } \int \frac{dv}{v} = - \int \text{tg } x dx \text{ } \Rightarrow \text{ } \ln |v| = - \int \frac{\sin x dx}{\cos x} \]

    \[   \ln |v| = \int \frac{d(\cos x)}{\cos x} \text{ } \Rightarrow \text{ } \ln |v| = \ln |\cos x| + C \]

Полагая C=0 и потенцируя полученное уравнение по основанию e, имеем, что v= \cos x . Подставим найденное значение v во второе уравнение системы:

    \[   u' \cos x = \frac{1}{\cos x} \]

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Его решение

    \[   \frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos ^{2} x} \text{ } \Rightarrow \text{ } \int du = \int \frac{dx}{\cos ^{2} x} \text{ } \Rightarrow \text{ } u = \text{tg }x + C \]

Учитывая, что решение ищется в виде y=u(x) \cdot v(x) , получим:

    \[   y = (\text{tg }x + C) \cos x \text{ } \Rightarrow \text{ } y = \sin x + C \cos x \]

Используя начальное условие y(0)=1 , найдем значение константы интегрирования:

    \[   1 = \sin 0 + C \cdot \cos 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } 1=0+C \cdot 1 \text{ } \Rightarrow \text{ }  C=1 \]

Таким образом, частное решение заданного уравнения будет иметь вид:

    \[   y = \sin x + \cos x \]

Ответ y = \sin x + \cos x